Оператор Гамильтона
Трихинеллез.
Методичка.
Рассмотрим символический оператор Гамильтона (или вектор “набла”)
.
С его помощью удобно записать основные операции теории поля:
1) градиент скалярного поля есть произведение вектора 
на скалярную функцию 
;
2) дивергенция векторного поля есть скалярное произведение вектора на вектор поля
;
3) ротор векторного поля 
есть векторное произведение вектора на вектор
;
4) оператор Лапласа 
скалярного поля
или символически 
;
5) производная по направлению
или символически 
.
Такая запись основных операций поля наиболее часто используется в физических и технических приложениях, связанных с изучением реальных физических полей.
При применении оператора следует учитывать и его векторную и его дифференциальную природу. На этом основаны правила применения . Эти правила можно было заметить при изучении дифференциальных свойств дивергенции, градиента, ротора.
Применение к выражениям, не содержащим произведения переменных
Применение к выражениям, не содержащим произведения переменных, происходит по правилам векторной алгебры. При этом величина, на которую действует оператор 
должна стоять за ним.
Поясним это правило на следующих примерах.
1). Пусть 
постоянный вектор; тогда 
; здесь переменная величина перенесена к вектору и поставлена за ним по правилам векторной алгебры (по свойствам векторного произведения скаляр можно перенести от второго вектора к первому).
2). Применяя получим формулу (13.4):
;
здесь мы воспользовались известной формулой для двойного векторного произведения 
; как уже отмечалось, 
для вектора 
понимают как 
3). Следует иметь в виду, что 
, так как 
есть функция 
в то время как
есть дифференциальный оператор.
Аналогично, 
.
4). Следует иметь в виду, что не является обычным вектором; например,
а) не имеет ни длины, ни направления,
б) 
не перпендикулярен ,
в) векторы 
не коллинеарны, так как вектор 
направлен по
нормали к поверхности уровня 
, вектор 
направлен по нормали к поверхности уровня 
.
Эти примеры показывают, что с вектором следует обращаться с осторожностью и при отсутствии уверенности в полученном результате его следует проверить непосредственно, без использования .
Применение к выражениям, содержащим произведение переменных
В этом случае на первый план выходят дифференциальные свойства оператора и правило дифференцирования произведения.
Результатом действия на произведение переменных является сумма произведений; в каждом из них действует на один множитель, который отмечают штрихом и располагают справа от , соблюдая правила векторной алгебры.
Поясним это правило на следующих примерах.
1). Пусть 
функция, 
переменный вектор; тогда
.
Чтобы поставить множитель, помеченный штрихом, рядом с и за ним, воспользуемся двумя свойствами скалярного произведения: скаляр можно переносить от второго вектора к первому и скаляр можно выносить за знак скалярного произведения. Поэтому
.
2). Пусть 
переменные векторные поля; тогда
.
Чтобы поставить множитель, помеченный штрихом, рядом с и за ним, воспользуемся свойством векторного произведения 
и свойством смешанного произведения 
. Поэтому
.