Оператор Гамильтона
Трихинеллез.
Методичка.
Рассмотрим символический оператор Гамильтона (или вектор “набла”)
.
С его помощью удобно записать основные операции теории поля:
1) градиент скалярного поля есть произведение вектора на скалярную функцию
;
2) дивергенция векторного поля есть скалярное произведение вектора на вектор поля
;
3) ротор векторного поля есть векторное произведение вектора
на вектор
;
4) оператор Лапласа скалярного поля
или символически
;
5) производная по направлению
или символически
.
Такая запись основных операций поля наиболее часто используется в физических и технических приложениях, связанных с изучением реальных физических полей.
При применении оператора следует учитывать и его векторную и его дифференциальную природу. На этом основаны правила применения
. Эти правила можно было заметить при изучении дифференциальных свойств дивергенции, градиента, ротора.
Применение к выражениям, не содержащим произведения переменных
Применение к выражениям, не содержащим произведения переменных, происходит по правилам векторной алгебры. При этом величина, на которую действует оператор
должна стоять за ним.
Поясним это правило на следующих примерах.
1). Пусть постоянный вектор; тогда
; здесь переменная величина
перенесена к вектору
и поставлена за ним по правилам векторной алгебры (по свойствам векторного произведения скаляр
можно перенести от второго вектора к первому).
2). Применяя получим формулу (13.4):
;
здесь мы воспользовались известной формулой для двойного векторного произведения ; как уже отмечалось,
для вектора
понимают как
3). Следует иметь в виду, что , так как
есть функция
в то время как
есть дифференциальный оператор.
Аналогично, .
4). Следует иметь в виду, что не является обычным вектором; например,
а) не имеет ни длины, ни направления,
б) не перпендикулярен
,
в) векторы не коллинеарны, так как вектор
направлен по
нормали к поверхности уровня , вектор
направлен по нормали к поверхности уровня
.
Эти примеры показывают, что с вектором следует обращаться с осторожностью и при отсутствии уверенности в полученном результате его следует проверить непосредственно, без использования
.
Применение к выражениям, содержащим произведение переменных
В этом случае на первый план выходят дифференциальные свойства оператора и правило дифференцирования произведения.
Результатом действия на произведение переменных является сумма произведений; в каждом из них
действует на один множитель, который отмечают штрихом и располагают справа от
, соблюдая правила векторной алгебры.
Поясним это правило на следующих примерах.
1). Пусть функция,
переменный вектор; тогда
.
Чтобы поставить множитель, помеченный штрихом, рядом с и за ним, воспользуемся двумя свойствами скалярного произведения: скаляр можно переносить от второго вектора к первому и скаляр можно выносить за знак скалярного произведения. Поэтому
.
2). Пусть переменные векторные поля; тогда
.
Чтобы поставить множитель, помеченный штрихом, рядом с и за ним, воспользуемся свойством векторного произведения
и свойством смешанного произведения
. Поэтому
.