Особенности расчета длинныхфундаментов на упругом основании

Как уже отмечалось в предыдущем разделе, прогиб балки на сплошном уп­ругом основании, определяемый формулой (8.58), представляет собой по форме две пары быстро затухающих периодических функций (рис. 8.17). Каждая пара затухает по мере удаления от левого или правого края балки.

Рис. 8.17. Характер изменения гиперболотригонометрических функций на краях длинных балок на упругом основании

Длина полуволны этих гиперболотригонометрических функций определяется из равенства:

откуда длина зоны затухания этих функций равна:

(8.73)

Как видно из рис. 8.17, первая пара функций с множителем e -x стремится к нулю по мере удаления от левого края балки, вторая же пара функций с множи­телем e x быстро затухает по мере удаления от правого края балки.

Если длина балки l больше длины затухания l, то обе части решения, содер­жащие множители e -x и e x, имеют самостоятельное решение и не зависят друг от друга. Такие балки называются длинными.

Формально к длинным балкам относятся те, у которых

l/L > 5.

Если длина балки l больше длины затухания l, то обе части решения, содер­жащие множители e -x и e x, имеют самостоятельное решение и не зависят друг от друга. Такие балки называются длинными.

Формально к длинным балкам относятся те, у которых

l/L > 5.

К балкам коротким и средней длины относятся такие, у которых

0,6 < l/L < 5.

Для длинной балки решение W*(x) записывается отдельно для каждого её края.

На левом краю при х ³ 0 решение (8.58) имеет вид

(8.74)

а на правом краю при x £ l оно записывается так:

(8.75)

Остальные факторы напряженно-деформированного состояния длинной балки на упругом основании в области, примыкающей к левому краю, опреде­ляются из следующих зависимостей:

(8.76)

Обозначим:

с(x) = e -x×cosx , d(x) = e -x×sinx , a(x) = c(x) + d(x) , b(x) = c(x) – d(x). (8.77)

При х = 0 a(0) = b(0) = c(0) = 1, d(0) = 0.Численные значения функций a(x) - d(x) и их графики представлены на рис.8.18.

 

Рис.8.18. Функции a(x), b(x), с(x), d(x)

С учетом (8.77) формулы (8.74) и (8.76) примут вид:

(8.78)

Зависимости (8.78) соответствуют решению однородного уравнения (8.56) без учета действия нагрузки. Поэтому определим частные решения (8.53) для раз­личных видов нагружения.

Нагрузка q(x) распределена по произвольному закону вдоль длинной балки (рис.8.13)

В этом случае частное решение определяется из уравнения (8.53) при

(8.79)

 

При действии равномерно распределенной нагрузки q(x) = q = const


(8.80)

Нагрузка распределена по закону треугольника вдоль длинной балки (рис.8.19)

 
 

 


W

 

Рис. 8.19. Схема действия нагрузки на балку, распределенную вдоль её длины по закону треугольника

Тогда частное решение определится из следующего соотношения:

(8.81)

Нагрузка Р сосредоточена в одной точке длинной балки (рис.8.16)

В этом случае возьмем начала координат в точке приложения силы Р и от бросим из соображения симметрии левую часть балки (рис. 8.20).

В сечении x = 0 балки соблюдаются следующие условия:

 
 

 


M
W

 

Рис. 8.20. Расчетная схема длинной балки на упругом основании при действии на неё сосредоточенной силы Р

Раскрывая эти условия с помощью зависимостей (8.78), получим

После подстановки значений произвольных постоянных в формулы (8.78) будем иметь:

(8.82)

Таким образом, общее решение для сосредоточенных нагрузок определяется сразу из граничных условий в точках их приложения, а для распределенных на­грузок путем суммирования решений однородного уравнения W* и частного решения W**.

Учитывая сказанное, запишем общее решение для равномерно распределен­ной и треугольной нагрузок, последовательно суммируя соответственно фор­мулы (8.78), (8.80) и (8.81).

Равномерно распределенная нагрузка

(8.83)

Треугольная нагрузка

(8.84)

Итак, мы получили все необходимые математические зависимости для оп­ределения напряженно-деформированного состояния фундаментов конечной жесткости с учетом деформации грунта на основе использования модели осно­вания Винклера-Циммермана, и теперь можно перейти к решению практи­ческих задач.

Задача Рассчитать на прочность конструкцию бетонного кольцевого фундамента (рис.8.21) под шаровой резервуар для хранения сжиженного бутана вместимостью V = 600 м3 при следующих исходных данных:

внутренний диаметр резервуара – D = 10,5 м;

число опорных стоек - i = 8;

собственный вес оболочки резервуара - Qоб = 4,5×10 5Н;

удельный вес хранимой жидкости - gж =10 4 Н/м3;

марка бетона – 600;

модуль упругости бетона – E = 2×1010 Н/м 2;

расчетная прочность бетона на изгиб – RP = 4×10 7 Н/м 2;

коэффициент постели основания – K = 2×10 6 Н/м 2;

ширина и высота фундаментного кольца соответ­ственно – b = 0,8 м, h = 0,4 м .

 
 

 


1 – опорные стойки, 2 – кольцевой фундамент

Рис. 8.21. Конструкция кольцевого фундамента (вид сверху)

Решение

1. Общий вес оболочки резервуара вместе с продуктом:

2. Вертикальная нагрузка на опорные стойки

3. Геометрические параметры поперечного сечения кольцевого фундамента: момент инерции -момент сопротивления -

4. Упругая характеристика фундамента и расстояние между опорными стой­ками соответственно:

;

Так как w = l/L = 4,12/3,6 = 1,14 < 5, то воспользуемся теорией расчета ко­ротких балок на упругом основании.

5. Возьмем начало координат в сечении балки, совпадающей с вертикальной осью опорной стойки. В этом сечении соблюдаются следующие граничные ус­ловия: при x = 0 j0 = 0, Q0 = - P/2. Эти же условия соблюдаются также в сече­нии под следующей опорной стойкой, расположенной на расстоянии l от пре­дыдущей: при x = l jl = 0, Ql = - P/2.

Раскрывая эти граничные условия с помощью зависимостей (8.72), получим:

Из решения этой системы уравнений следует

6. Согласно электронному рисунку 8.14. при w = 1,14 функции Крылова равны: a(x) = 0,706, b(x) = 1,06, g(x) = 0,65, h(x) = 0,25 и тогда

Таким образом, осадка фундамента под вертикальными осями опорных стоек составляет W0 = 14 мм, а максимальное напряжение от изгиба в этом сечении фундамента равно

Следовательно, условие прочности бетона соблюдается.

Теперь, чтобы получить эпюры всех факторов напряженно- деформирован­ного состояния кольцевого фундамента, необходимо найденные значения на­чальных параметров W0 = 0,028 м, j0 = 0, M0 = 8,19×10 5Н×м и Q0 = -4,069×10 5Н подставить в зависимости (8.71 – 8.72).