Решение.

1) Найдем суммарные запасы продукции и суммарные потребности 150+380=890; b₁+b₂+b₃+b₄=270+190+340+200=1000. Поскольку ,то есть отсутствует баланс между производимой продукцией и потребнос-тями, то мы имеем задачу открытого типа. Вводим фиктивного поставщика A₄, который имеет запас продукции в объеме (един.). Все тарифы на доставку продукции фиктивного поставщика равны нулю, т.е. c₄₁=c₄₂=c₄₃=c₄₄=0

Данные задачи заносим в таблицу 1.

Табл. 1.

Начальный опорный план получим по правилу «минимального элемента».

Загрузку начинаем с клетки, которой соответствует наименьший тариф c_ij≠0 всей матрицы тарифов. В нашем случае минимальным тарифом является с₁₄=1, который соот-ветствует клетке (1, 4). В эту клетку вписываем x₁₄=min (360; 200)=200. Исключаем четвертый столбец. У поставщика A₁ осталось еще 160 единиц продукции, которые по-местим в клетку (1, 2). Исключаем первую строку. Но потребителю B₂ необходимо еще 30 ед. продукции, которые берем у поставщика A₂, и помещаем в клетку (2, 3). Исключаем второй столбец. Оставшиеся у поставщика A₂ 120 ед. продукции помещаем в клетку (2, 3). Исключаем вторую строку. Необходимые потребителю B₃ 220 ед. продукции берем у поставщика A₃ и помещаем в клетку (3, 3). Исключаем третий столбец. В пункте A₃ оставшиеся 160 ед. продукции помещаем в клетку (3; 1). Исключаем третий столбец. Оставшиеся 110 ед. помещаем в клетку (4; 1).

Полученный нами план является невырожденным, так как выполняется условие базисных клеток: m+n-1=4+4-1=7, и число заполненных клеток тоже 7. А значит, полу-чено опорное решение, которое запишем матрицей

.

Методом потенциалов проверим, является ли полученное решение оптимальным. Для этого каждому поставщику и потребителю придается число, называемое потен-циалом. Потенциалы выбираем так, чтобы их сумма для каждой загруженной клетки была равна тарифу перевозки единицы груза, т.е.

u_i+v_j=c_ij,

где u_i – потенциал i-го поставщика;

v_j – потенциал j-го потребителя;

c_ij – тариф заполненной клетки.

В нашем случае получаем следующие уравнения:

Полагая v₄=0, получаем следующие потенциалы:

u₁=1 u₃=3 v₁= 0 v₃= 4

u₂=0 u₄=0 v₂= 2 v₄=0

Все полученные данные заносим в таблицу 2.

Далее вычисляем оценки свободных клеток по формуле: .

s₁₁=c₁₁-(u₁+v₁) =7-(1+0) =6 ³ 0 s₂₄=c₂₄-(u₂+v₄) = 8-(0+0) =8 ³ 0 s₄₂=c₄₂-(u₄+v₂) = 0-(0+2) = -2

s₁₃=c₁₃-(u₁+v₃) = 6-(1+4) =1 ³ 0 s₃₂=c₃₂-(u₃+v₂) = 5-(3+2) = 0 s₄₃=c₄₃-(u₄+v₃) = 0-(0+4) = -4

s₂₁=c₂₁-(u₂+v₁) = 5-(0+0) =5 ³ 0 s₃₄=c₃₄-(u₃+v₄) = 9-(3+0) = 6 ³ 0 s₄₄=c₄₄-(u₄+v₄) = 0-(0+0) = 0

Так как s₄₂<0, и s₄₃<0 то полученный план не является оптимальным. Наиболее потенциальной клеткой является клетка (4; 3). Поэтому строим для клетки (4; 3) замк-нутый цикл, который в таблице 2 выделяем пунктирной линией:

(4, 3)→(3, 3)→(3, 1)→(4, 1).

Свободной клетке условно приписываем знак «+», тогда следующей клетке по ходу часовой стрелки – знак «-» и т.д., знаки чередуются.

В отрицательных вершинах цикла определяем наименьшую загрузку клетки, т.е.

min (x₃₃, x₄₁)=min (220, 110)=110.

Количество продукции, равное 110ед., прибавляем к поставкам в клетках со знаком «+» и вычитаем из поставок в клетках со знаком «-».

Получаем новый план, который заносим в таблицу 3.

Проверяем, является ли полученный план оптимальным. Для этого каждому поставщику и потребителю придаем число – потенциал. Вычисляем потенциалы так же, как это делали выше:

.

Полагая v₃=0, получаем следующие потенциалы, которые заносим в таблицу 4:

u₁=5 u₃=7 v₁= -4 v₃= 0

u₂=4 u₄=0 v₂= -2 v₄= -4

Вычисляем оценки свободных клеток:

s₁₁=7-(5-4) =6 ³ 0 s₂₄=8-(4-4) = 8 ³ 0 s₄₁=0-(0-4) = 4 ³ 0

s₁₃=6-(5+0) =1 ³ 0 s₃₂=5-(7-2) = 0 s₄₂=0-(0-2) =2 ³ 0

s₂₁=5-(4-4) =5 ³ 0 s₃₄=9-(7-4) = 6 ³ 0 s₄₄=0-(0-4) = 4 ³ 0

Поскольку все s_ij>0, то полученный план является оптимальным, который можно представить в виде матрицы

.

2) Суммарные затраты f_min при этом будут составлять:

Потребитель B₃ не дополучил 110 единиц продукции.

Ответ: , f_min=2800 ден.ед.

,