Решение.

Пример 12.

Пример 11.

Пример 10.

Пример 9.

Пример 8.

Построить эпюру Nz для стержня, приведенного на рисунке.

Р е ш е н и е.

Стержень нагружен только сосредоточенными осевыми силами, поэтому продольная сила в пределах каждого участка постоянна. На границе участков Nzпретерпевает разрывы. Примем направление обхода от свободного конца (сеч. Е) к защемлению (сеч. А). На участке DE продольная сила положительна, так как сила вызывает растяжение, т.е. NED = +F. В сечении D продольная сила меняется скачком от NDE = NED = F до NDС = NDЕ –3F = –2F (находим из условия равновесия бесконечно малого элемента dz, выделенного на границе двух смежных участков CD и DE).

Заметим, что скачок равен по величине приложенной силе 3F и направлен в сторону отрицательных значений Nz, так как сила 3F вызывает сжатие. На участке CDимеем NСD = NDС = –2F. В сечении C продольная сила изменяется скачком от NСD = –2F до NСВ = NСD + 5F = 3F. Величина скачка равна приложенной силе 5F. В пределах участка CВ продольная сила опять постоянна NСВ = NВС =3F. Наконец, в сечении В на эпюре Nz опять скачок: продольная сила меняется от NВС = 3F до NВА = NВС –2F = F. Направление скачка вниз (в сторону отрицательных значений), так как сила 2F вызывает сжатие стержня. Эпюра Nz приведена на рисунке.

Стержень, нагруженный, как показано на рисунке, удерживается в опоре силами трения, равномерно распределенными по ее толщине. Построить эпюру продольной силы.

Р е ш е н и е.

Из условия равновесия стержня в проекции на ось z находим интенсивность сил трения:

, , откуда q = 3F/a.

Эпюру Nz строим по формуле . Согласно этой зависимости на участках АВ и CD продольная сила постоянна, так как погонной нагрузки нет (q = 0). На участке ВС продольная сила изменяется по линейному закону (q = const). В сечениях А и D, где приложены сосредоточенные силы, на эпюре Nz имеют место скачки, равные по величине приложенным силам. Примем направление обхода слева направо. В сечении А сила 2F вызывает сжатие, поэтому NAB = -2F. На участке ВС продольная сила изменяется от NB = NA = -2F до . На участке CD продольная сила постоянна и равна NСD = 4F.

Стержень, изображенный на рисунке (а), нагружен уравновешенной системой в виде сосредоточенных и распределенных сил. Эпюра продольной силы показана на рисунке (б). Определить значения и направления приложенной к стержню нагрузки.

Р е ш е н и е.

В сечениях 1, 2, 3, 4 на эпюре имеются скачки, что связано с приложенными здесь сосредоточенными силами. Скачку вверх соответствует сила, вызывающая растяжение в рассматриваемом сечении; при скачке вниз сила вызывает сжатие. Величина скачка равна приложенной силе. Будем перемещаться по стержню слева направо. В сечении 1 приложена растягивающая сила F1 = 20 кН, направленная влево. Далее на участке 12 на стержень действует распределенная нагрузка постоянной интенсивности, равной согласно дифференциальной зависимости тангенсу угла наклона прямой, т.е. q12 =(60-20)/2 = 20 кН/м. Погонная нагрузка вызывает растяжение и направлена влево. Приложенная в сечении 2 сила F2 = 100 кН вызывает сжатие и направлена вправо. На участке 23 распределенной нагрузки нет, так как продольная сила постоянна. В сечении 3 приложена растягивающая сила F3 = 80 кН (направлена влево). На участке 34 действует распределенная нагрузка интенсивности q34 = (-40 - 40)/1 = -80 кН/м, вызывающая сжатие и направленная вправо. Наконец, в сечении 4 приложена сила F4 = 40 кН, направленная влево.

Стержень переменного сечения с заданным отношением площадей A1/A2=2 подвержен действию нагрузок, показанных на рис. а. Цель расчета – подобрать площади поперечного сечения стержня так, чтобы на каждом участке соблюдалось условие прочности. (При этом должно выполняться заданное отношение площадей.)

Решение.

Определяем продольную силу и строим эпюру распределения N вдоль оси стержня. Для этого сначала из уравнения равновесия всего стержня находим опорную реакцию:

.

Затем, используя метод сечений, определяем продольную силу в произвольном сечении на каждом участке стержня:

на первом участке ;

на втором участке ;

на третьем участке .

Ищем значения N на границах участков. На первом участке продольная сила постоянна и не зависит от x. В начале второго участка

,

в конце второго участка

.

Аналогично для третьего участка

, .

По полученным точкам строим эпюру N. На рис. б эпюра N построена для следующих исходных данных: м, м; F1 = 10 кН, F2 = 40 кН, q1 = 15 кН/м,q2 = 20 кН/м.

Зная продольную силу, находим напряжения в стержне и строим эпюру распределения напряжений по длине стержня (рис. в). Заметим, что на эпюре продольных сил скачки (т.е. резкие изменения усилий при переходе в соседнее сечение) имеют место под сосредоточенными силами на величину этих сил, на эпюре напряжений скачки появляются так же и в местах изменения поперечного сечения.

Для подбора сечения стержня по эпюре напряжений выбираем опасные сечения с максимальными напряжениями. Причем для хрупких материалов важным является не только абсолютное значение напряжения, но и его знак. Более опасным является растягивающее напряжение, так как разрушающее напряжение при растяжении у хрупкого материала много меньше прочности при сжатии. Например, на эпюре , показанной на рис. в, опасным является не только сечение в начале третьего участка , где действуют максимальные сжимающие напряжения, но и сечение в конце третьего участка с максимальными растягивающими напряжениями. Таким образом, для стержня, показанного на рисунке, должны выполняться условия прочности в трех опасных сечениях:

для чугунной части

, откуда ,

и ;

для стальной части

, тогда .

Из трех значений A1, найденных из условий прочности в опасных сечениях выбираем то, которое удовлетворяет всем условиям. Значение А2 находим по заданному соотношению: .

Для проверки вычислений находим действительные коэффициенты запаса прочности на каждом участке и сравниваем их с нормируемым коэффициентом запаса. На самом опасном участке (в опасном сечении) действительный коэффициент запаса прочности должен равняться нормируемому, а на остальных участках должен быть больше нормируемого.

Построить эпюры нормальных сил и нормальных напряжений для бруса, изображенного на рисунке. Собственный вес бруса в расчете не учитывать.

Для определения внутренних усилий разбиваем прямолинейный брус на участки. Границами участков являются точки продольной оси, соответствующие изменению площади поперечного сечения и точкам приложения сосредоточенных сил. Из рассмотрения рис. а определяем, что брус необходимо разбить на четыре участка.

Проводим сечение I – I. Отбросим верхнюю часть бруса, ее действие заменим нормальной силой N1 (рис. б). Запишем уравнение равновесия, проектируя силы на ось бруса:

откуда N1 = F.

Очевидно, что на всем первом участке () нормальная сила N1 постоянна по величине. Откладываем в масштабе значение нормальной силы N1 = F в пределах участка I – I (рис. е).

Проводим сечение II – II и, отбрасывая верхнюю часть бруса, заменяем ее действие нормальной силой N2 (рис. в). Проектируем все силы на ось бруса:

откуда N2 = –F.

Аналогично находим нормальные силы в сечении III – III (рис. г):

откуда N3 = –F

и в сечении IV – IV (рис. д):

откуда N4 = 0.

Откладывая в масштабе значения нормальных сил N2, N3, N4 в пределах соответствующих участков, получаем эпюру нормальных сил (рис. е). Полученную таким путем эпюру принято штриховать прямыми линиями, перпендикулярными к оси бруса. Каждая такая линия в принятом масштабе дает величину нормальной силы в соответствующем поперечном сечении бруса. Знак «плюс» показывает, что в пределах данного участка – растяжение, а знак «минус» – сжатие.

Для построения эпюры нормальных напряжений воспользуемся формулой для каждого участка:

Эпюра нормальных напряжений (рис. ж) показывает, что наибольшего значения нормальные напряжения достигают в пределах третьего участка (участок III).