Общий алгоритм процесса моделирования

Классификация моделей

Основные понятия и определения

В глубокой древности возник и затем стал широко использоваться метод распространения свойств одних объектов на другие, который теперь называете умозаключением по аналогии. Уже первобытный человек многократно наблюдал постоянство некоторых связей между признаками в предметах и явлениях. Если есть корни и ствол, то, как правило, есть и ветви. С течением времени эти связи признаков вещей привели к формированию уверенности в том, что если у двух предметов имеются одинаковые существенные признаки, то несмотря на различие этих предметов вполне возможно, что они обладают и другими одинаковыми признаками.

Дальнейшее развитие логических знаковых моделей связано с возникновением письменности и математической символики. Наиболее древние письменные тексты, известные в настоящее время, относят примерно к 2000 г. до н.э. Это время расцвета двух великих цивилизаций Египта и Вавилона. Имеются некоторые основания полагать, что вавилоняне уже пользовались исключительно важным для моделирования понятием подобия в форме такого элементарного геометрического подобия, как подобие прямоугольных треугольников.

Значительное развитие моделирование получает в древней Греции в V— III вв. до н. э. В Греции была создана геометрическая модель Солнечной системы. Греческий врач Гиппократ для изучения человеческого глаза воспользовался его физической аналогичной моделью — глазом быка [1]. Греческим математиком Евклидом было построено учение о геометрическом подобии.

По мере развития и укрупнения механического производства, металлургии, кораблестроения, градостроительства, строительства гидротехнических сооружений в XVI—XVIII вв. все чаще обнаруживается недостаточность геометрического подобия физически однородных объектов для прогнозирования свойств объектов больших размеров на основании свойств объектов меньших размеров.Например, при постройке в Венеции (XVII в.) галеры увеличенного размера подпорки с сечениями, выбранными на основании геометрического подобия, оказались недостаточно прочными. «Прочность подобных тел не сохраняет того же отношения, которое существует между величиной тел», — отметил Галилей (1564—1642 гг.).

Это требовало развития вопросов подобия при физическом моделировании. Первый шаг в этом направлении был сделан И. Ньютоном (1643—1727), сформулировавшим условия подобия механических явлений. Затем развитие учения оподобии длительное время шло путем определения частных условий подобия для явлений только определенной физической природы. В 1909—1914 гг. в результате работ Н. Е. Жуковского, Д. Рэлея, Ф. Букингема была сформулирована в первой редакции пи-теорема, позволившая установить условия подобия явлений любой физической природы. Начиная с этого времени метод подобия становится основным методом экстраполяции характеристик модели в характеристики оригинала при физическом моделировании.

Параллельно с развитием материального (физического) моделирования шло развитие логического моделирования в знаковой форме, которое было связано прежде всего с развитием математики. В конце XVI в. Д. Непер (1550—1617) изобрел логарифмы. В. XVII в. И. Ньютон и Лейбниц (1646—1716) создали дифференциальное исчисление. Наряду с аналитическими получают развитие численные методы решения различных задач.

Стремление упростить, ускорить и облегчить вычисления приводит к появлению различных вычислительных устройств. По существу это материальные формальные подобные модели таких логических объектов, как различные математические операции. Первыми вычислительными устройствами были многочисленные предшественники русских счетов. Русские счета появляются в XVI в. и принимают почти современный вид в XVII в. Это первое простейшее цифровое вычислительное устройство для полуавтоматического выполнения арифметических операций. В начале XVII в. появляется логарифмическая линейка — простейшее аналоговое вычислительное устройство для полуавтоматического выполнения операций умножения и деления.

На рубеже XIX и XX вв. появляются счетно-решающие механизмы, арифмометр.

В 30-х гг. ХХ века начинается развитие электромеханических, а затем электрических аналоговых и цифровых вычислительных устройств, приведшее к появлению в середине ХХ столетия современных электронных вычислительных машин.

Стремительное развитие вычислительной техники в последние годы превратило математическое моделирование в эффективный инструмент исследования самых различных областей науки и техники.

В настоящее время моделирование и методы, развиваемые в теории моделирования, широко применяются в самых различных областях •науки и техники.

Итак, что же такое моделирование?-

Моделирование – процесс замещения одних объектов другими, обеспечивающий фиксацию наиболее существенных свойств и особенностей замещаемых объектов.

Оригинал – замещаемый (моделируемый) объект.

Модель– замещающий объект, позволяющий изучить или фиксировать некоторые свойства оригинала.

Модели классифицируются по следующим признакам:

· по закону функционирования и характерные особенности выражения свойств и отношений оригинала;

· по основаниям для преобразования свойств и отношений модели в свойства и отношения оригинала.

По первому признаку модели разделяют на логические и материальные. Логические модели функционируют по законам логики в сознании человека, материальные — по объективным законам природы.

К логическим моделям относятся:

1. Образные - выражающие свойства оригинала с помощью наглядных чувственных образов, имеющих прообразы среди элементов оригинала. Например, в кинетической теории газов частицы газа образно моделируются в виде упругих шаров, воздействующих друг на Друга только во время столкновений.

2. Знаковые - выражают свойства оригинала с помощью условных знаков или символов. К ним относят математические выражения и уравнения, физические и химические формулы и т. п.

3. Образно-знаковые модели обладают признаками образных и знаковых моделей (схемы, графики, чертежи, графы и т. д.).

К материальным моделям относятся:

1. Функциональные - отражают только функциональные свойства оригинала.

2. Геометрические отражают только пространственные свойства оригинала.

3. Функционально-геометрические модели отражают одновременно функциональные и пространственные свойства оригинала.

В зависимости от физической однородности и разнородности с оригиналом функциональные и функционально-геометрические модели разделяют на физические и формальные. Физические – физически однородны с оригиналом (например, последовательное соединение резистора и конденсатора является физической моделью потребителя энергии генератора). Формальные – физически разнородны с оригиналом (например, если оригинал — маятник, то электрический колебательный контур является его формальной моделью).

По второму признаку различают условные, аналогичные и математические модели.

1. Условные выражают свойства и отношения оригинала на основании принятого условия или соглашения. У таких моделей сходство с оригиналом может совершенно отсутствовать. К ним относятся все знаковые и образно-знаковые модели.

2. Аналогичные модели обладают сходством с оригиналом, достаточным для перехода к оригиналу на основании умозаключения по аналогии, т. е. на основании логического вывода, что оригинал, возможно, обладает некоторым признаком, имеющимся у модели, так как другие признаки оригинала сходны с признаками модели.

3. Математические модели обеспечивают переход к оригиналу, фиксацию и исследование его свойств и отношений с помощью математических методов.

Среди них выделяют расчетные и соответственные.

Расчетные модели выражают свойства и отношения оригинала с помощью математических представлений — формул, уравнений, графиков, таблиц, операторов, алгоритмов и т. д.

Соответственные модели содержат переменные величины, связанные с соответствующими переменными величинами оригинала определенными математическими зависимостями. Например, если два логических объекта — функции Z=ХУ, z=ху, и эти функции, а так­же их независимые переменные связаны соотношениями х = lgХ, y = lgУ, z = lgZ, то каждый из таких объектов может служить соответственной моделью другого.

Математические модели имеют признаки условных моделей и могут обладать признаками аналогичных.

Важнейшей разновидностью соответственных моделей являют­ся подобные, переменные величины которых пропорциональны соответствующим переменным оригинала. Они также могут быть логическими и материальными. Подобные материальные модели разделяют на аналоговые (непрерывные), цифровые (дискретные) и аналого-цифровые (комбинированные и гибридные) в зависимости от того, какие величины связывает их математическое описание— непрерывные, дискретные или одновременно непрерывные и дискретные.

В общем случае процесс моделирования состоит из нескольких этапов:

1. Постановка задачи и определение свойств оригинала, подлежащих исследованию.

2 Констатация затруднительности или невозможности исследования оригинала в натуре.

3. Выбор модели, достаточно хорошо фиксирующей существенные свойства оригинала и легко поддающейся исследованию.

4 Исследование модели в соответствии с поставленной задачей.

5. Перенос результатов исследования модели на оригинал.

6. Проверка этих результатов.

Основными задачами теории моделирования являются выбор моделей и перенос результатов исследования моделей на оригинал, которые решаются с помощью эффективных достаточно общих методов.