Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей

Рациональную дробь можно рассматривать как отношение многочленов.

О.4.1 Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе. В противном случае дробь неправильная.

Выделяя из неправильной дроби ее целую часть, (путем деления числителя на знаменатель) всегда можно представить ее в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби.

Интегрирование многочлена мы знаем.

Сформулированная ниже теорема позволяет свести интегрирование любой правильной рациональной дроби к интегрированию элементарных дробей.

Т.4.1. Если - правильная рациональная дробь, знаменатель которой представлен в виде произведения линейных и квадратных множителей

то эта дробь может быть разложена на элементарные дроби по следующей схеме:

1) есликорни знаменателя действительные, то дробь разлагается на сумму простейших дробей I типа,

2) корни знаменателя действительные, причем некоторые кратные

дробь разлагается на сумму дробей I и II типов, причем

каждому множителю соответствует k дробей I и II типов.

3) если корни знаменателя комплексные, то каждому множителю соответствует дробь III типа:

4) среди корней знаменателя есть комплексные кратные, тогда дробь разлагается на сумму дробей III и IV типов.

Пример 7: разложить дробь на сумму простейших дробей