Переменной в неопределенном интеграле

Интегрирование подстановкой. Теорема о замене

Лекция № 11

Тема: «Методы интегрирования»

1. Интегрирование подстановкой. Теорема о замене переменной в неопределенном интеграле. Примеры. 2. Интегрирование по частям. Теорема и формула интегрирования по частям. Правило интегрирования по частям. Интегрирование функций вида , логарифмических и обратных тригонометрических функций. 3. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование простейших дробей. Выделение целой части у неправильной дроби. 4. Разложение правильной дроби на сумму простейших дробей.

Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного интеграла или берущегося известным способом. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной.

Пусть требуется вычислить , который не может быт взят непосредственно, но известно, что первообразная существует.

Теорема 1.1Если функция f (x)непрерывна, - непрерывна и монотонна, то справедлива формула

(1)

Доказательство

Используем дифференцирование левой части

(2)

( Правую часть продифференцируем как сложную функцию по переменной х₁ , считая, что t- промежуточная переменная, и учитывая, что

Тогда

(3)

Сравнивая (2) и (3) получим (1) и т.д.

Замена переменной в неопределенном интеграле чаще производится в следующем виде

Примеры