Составные квадратурные формулы с переменным шагом

Другие оценки погрешности

1. Приближенной оценкой погрешности могут быть:

– для трапеции и прямоугольника;

– для формулы Симпсона.

2. Следует заметить, что эмпирические формулы (25), (26), (28) предполагают и автоматическое изменение шага интегрирования h. Для этой цели имеется другая схема расчета, заключающаяся в следующем.

Анализ составных формул I_П, I_Т, I_С показывают, что точное значение интеграла находится между I_Ср.П (формула средних) и I_Т, при этом имеет место соотношение:

I_С = (2×I_Ср.П + I_Т)/3. (29)

Соотношение (29) используется и для контроля погрешности вычисления. Если │I_С – I_Т│ ≥ ε, то шаг уменьшают вдвое и расчет повторяют. Если точность достигнута, то окончательное значение интеграла и получают по формуле (29).

Проиллюстрируем решение данной проблемы на примере квадратурной формулы прямоугольников.

Пусть f(x) Î C²[a, b] с дополнительным ограничением: f "(x) – монотонная знакоопределенная функция на [a, b]. Для определенности возьмем f "(x) – монотонно убывающую положительную функцию.

Положим x₀ = a. Определим наибольшее значение x₁ из условия (23), т.е. чтобы погрешность для

; · f "(x) = e; ; (30)

не превышала заданной величины e. Очевидно, что для этого достаточно решить (24) относительно x₁.

Имеем x₁ = .

Следующие интервалы определяются аналогично.

Из рисунка видно, что длина последующих интервалов будет возрастать. Общая формула их определения такова:

x_i+1 = ; 0 £ i £ k . (31)

Количество интервалов k неизвестно, т.к. оно определяется как точностью e, так и поведением f "(x) на интервале [a,b]. Однако верхняя оценка для k может быть легко определена по длине наименьшего частичного интервала:

k £ .

Суммируя (30) получим составную квадратурную формулу прямоугольников с переменным шагом:

;

где x_i определяется рекуррентно формулами (31). Для погрешности R имеет место оценка | R | £ ke.

В общем случае для произвольной функции f(x), если f "(x) – монотонно возрастающая положительная функция, то частичные интервалы определяются справа налево, т.е. от b к a. Для отрицательной производной f "(x) и монотонно возрастающей – слева направо от a к b, для убывающей – справа налево от b к a.

В качестве иллюстрации рассмотрим интегрирование f(x) = e^–x/s, s = 10^–2 с точностью e = 10^–4 на каждом частичном интервале, принадлежащем отрезку [0;1]. По (31) определим границы интервалов:

x₀ = 0,0000; x₁ = 0,0062; x₂ = 0,0138; x₃ = 0,0237; x₄ = 0,0374;

x₅ = 0,0590; x₆ = 0,1030; x₇ = 0,2990; x₈ = 1,0000.

Общая погрешность имеет оценку R £ 8×10^–4. Такую погрешность посредством формулы прямоугольников с h = const можно получить, если выбирать шаг h на всем интервале из условия = R, на 721-м частичном интервале:

K = .

В общем случае, если f "(x) на всем интервале [a,b] не удовлетворяет принятому дополнительному ограничению, то

– сначала следует интервал [a,b] разбить на частичные интервалы, на которых f "(x) монотонна и знакоопределена;

– затем на каждом из них построить составную квадратурную формулу с переменным шагом по приведенным выше формулам.

Аналогичные рассуждения имеют место и для формулы Симпсона с соблюдением монотонности f ^IV(x).

Однако следует заметить, что переход к переменному шагу h не всегда оправдан из-за необходимости вычислять f "(x) и определять ее монотонность и знакоопределенность. Это бывает оправданным только при серийных расчетах.