БАГАТОГРАННИКИ 2 страница

Визначити графічно чи паралельна задана пряма ℓ площині.

а) б)

Задача № 29

Побудувати проекції точки перетину прямої та площини.

а) б) в)

г) д) е)

ж) з) і)

2.3 Контрольний тест до інформаційного модуля 2

1. Які площини паралельні між собою?

а) α (ΔАВС) і β (а∩b);

б) γ (m║n) і β (а∩b);

в) α (ΔАВС) і σ (f⁰∩ h⁰);

г) немає.

2. Визначити правильну побудову лінії перетину площин, заданих слідами α (f ∩ h) ∩ β (l ∩ m) → k(k₁, k₂).

а) б) в) г)

3. Оберіть варіант задачі на перетин двох площин, для розв’язування якого потрібно вводити допоміжні площини.

а) б) в) г)

4. Яка умова накладається на вибір допоміжних січних площин?

а) допоміжні площини повинні займати проекціювальне положення відносно площин проекцій;

б) допоміжні площини повинні займати горизонтальне положення відносно площин проекцій;

в) допоміжні площини повинні бути перпендикулярні до заданих площин;

г) допоміжні площини повинні бути паралельні заданим площинам;

д) допоміжні площини повинні перетинати задані площини.

5. Оберіть варіант правильного розв’язування задачі на перетин площин: β(f ∩ h) ∩ α (α₂) →ℓ (ℓ₁,ℓ₂).

а) б) в) г)

6. Оберіть варіант правильного розв’язування задачі на перетин площини та прямої: α(f ∩ h) ∩ ℓ (ℓ₁,ℓ₂) → К (К₂, К₁).

а) б) в)

7. Оберіть варіант правильного розв’язування задачі на перетин площини та прямої: β (f ∩ h) ∩ m (m₁,m₂) → L (L₂, L₁).

а) б) в) г)

8. Оберіть варіант правильного твердження:

а) при розв’язуванні другої позиційної задачі допоміжна площина вводиться паралельно заданій площині;

б) при розв’язуванні другої позиційної задачі допоміжна площина займає проекціювальне положення та збігається із слідом заданої площини;

в) при розв’язуванні другої позиційної задачі допоміжна площина займає проекціювальне положення та її слід збігається з будь-якою проекцією прямої.

9. Оберіть варіант правильного розв’язку задачі на перетин площини та прямої: β (ΔАВС) ∩ ℓ (ℓ₁, ℓ₂) → К (К₂, К₁), при цьому α – допоміжна площина.

а) б)

в) г)

ІНФОРМАЦІЙНИЙ МОДУЛЬ 3

3.1 Прямокутні проекції багатогранників

За допомогою непохідної фігури – площини можна обмежити будь-яку фігуру тривимірного простору. Фігуру, що утворилася при цьому називають багатогранником. Якщо площини замикають простір з усіх боків, то вони формують замкнений багатогранник. Елементами такого багатогранника є грані, ребра та вершини:

- грані – багатокутники, що складають гранну поверхню;

- ребра – сторони багатокутників;

- вершини – точки перетину ребер.

Сукупність всіх вершин та ребер багатогранника має назву його сітки.

З усіх багатогранників практичний інтерес становлять перш за все показані на рис. 3.1 призми, піраміди та їх різновиди.

Багатогранник, дві грані якого n-кутники, що знаходяться у паралельних площинах, а інші n граней – паралелограми, називають n-кутною призмою. Вказані багатокутники називають основами призми, паралелограми – бічними гранями (див. рис. 3.1, а).

Багатогранник, одна з граней якого – довільний багатокутник, а інші грані – трикутники, що мають спільну вершину, називають пірамідою. Грань-багатокутник прийнято називати її основою, грані-трикутники – бічними гранями. Спільна вершина трикутників має назву особливої вершини (зазвичай, просто вершини) піраміди (див. рис. 3.1, б).

Багатогранник, вершинами якого є вершини основи піраміди та вершини його перерізу площиною, має назву зрізаної піраміди. Очевидно, зрізана піраміда з невласною особливою вершиною є призмою.

На рис. 3.1, г показано один з різновидів багатогранника, складовими якого є зрізана піраміда та призма.

а) б) в) г)

Рисунок 3.1 - Різновиди багатогранників

Графічно багатогранники зручно задавати відповідними прямокутними проекціями його сітки (сукупності вершин та ребер). На рис. 3.2 показано утворення прямокутних проекцій піраміди, у якої грань SAD належить площині проекцій Π1.

Рисунок 3.2 - Утворення прямокутних проекцій піраміди

На рис. 3.3 показані прямокутні проекції піраміди, ребра та грані якої займають різне положення відносно площин проекцій.

Положення ребер:

- CD, BA – горизонтально-проекціювальне;

- CB,DA - фронтально-проекціювальне;

- SC, SD, SB, SA – загальне положення.

Положення граней:

- SBA,SCD – горизонтально-проекціювальне;

- SBC- фронтально-проекціювальне;

SDA- горизонтальне;

- BCDA - профільне .

Рисунок 3.3 - Комплексне креслення піраміди

За умови належності точки 1 грані SAB, її горизонтальна проекція 11 обов’язково знаходиться на виродженій проекції грані S1A1B1 (див. рис.3.3).

3.2 Задачі інцидентності на гранних поверхнях

До задач інцидентності відносять задачу побудови проекцій перерізів багатогранників площинами окремого положення, трактуючи її як задачу визначення проекцій сукупності точок, що одночасно належать граням багатогранника та заданій площині і являються вершинами фігури перерізу – опуклого багатокутника. На рис. 3.4 а) показана призма, зрізана фронтально-проекціювальною площиною α. Утворена фігура перерізу – чотирикутник 1234, вершинами якого є точки перетину ребер призми з площиною. Оскільки січна площина займає проекціювальне положення, то фігура перерізу має фронтальну проекцію 12223242, яка збігається з виродженою проекцією площини α2 в межах проекції багатогранника (див. рис.3.4, б). Горизонтальна проекція перерізу 11213141 визначена за умови належності вершин чотирикутника ребрам призми, яки займають горизонтально-проекціювальне положення, тому вона збігається з горизонтальною проекцією призми.

а) б)

Рисунок 3.4 - Переріз призми

Побудова перерізу піраміди площиною β показана на рис.3.5, а. Як і у випадку побудови перерізу призми, фігурою перерізу піраміди є чотирикутник. Його вершинами є точки перетину площини з ребрами. Січна площина β займає горизонально-проекціювальне положення. Тому фігура перерізу має горизонтальну проекцію 11213141, яка збігається з виродженою проекцією площини β1 в межах відповідної проекції піраміди (див. рис.3.5,б). Фронтальна проекція шуканого перерізу 12223242 визначена за умови належності кожної його вершини відповідному ребру піраміди.

а) б)

Рисунок 3.5 - Переріз піраміди

До задач інцидентності можна віднести і задачу побудови проекцій наскрізних отворів в гранях багатогранників, оскільки її розв’язування базується на побудові проекцій точок за умови їх належності відповідним граням (включаючи ребра) багатогранника. На рис. 3.6,а показано принцип утворення наскрізного отвору в бічних гранях піраміди. Фронтальна проекція такого отвору має вироджену проекцію у формі трикутника ( див. рис. 3.6,б). Горизонтальна проекція визначена шляхом проведення допоміжних ліній в гранях піраміди, розглядаючи таким чином отвір як сукупність точок, що належать певній з граней.

а) б)

Рисунок 3.6 - Наскрізний отвір

Задачі для самостійного розв’язування

Задача №30

Побудувати профільну проекцію багатогранника. За умови належності точок граням багатогранника визначити проекції точок: (A1,A3)? (C2,C3)? (B1,B3)? (D2,D3)?

Задача №31

Побудувати горизонтальну проекцію багатогранника. За умови належності точок граням багатогранника визначити проекції точок: (A1,A3)? (C1,C2)? (B1,B3)? (D1,D2)?

Задача №32

Побудувати фронтальну проекцію багатогранника. За умови належності точок граням багатогранника визначити проекції точок: (A2,A3)? (C1,C2)? (B2,B3)? (D1,D2)?

Задача №33

Побудувати три проекції перерізів багатогранників площинами окремого положення

а) б)

в) г)

Задача №34

Побудувати три проекції наскрізних отворів

а) б)

3.3 Контрольний тест до інформаційного модуля 3

1. На якому рисунку зображені прямокутні проекції піраміди?

а) б) в)

2. Скільки ребер має заданий багатогранник?

а) 6; б) 7; в) 8.

3. Скільки граней має заданий багатогранник?

а) 6; б) 7; в) 5.

4. Яка грань багатогранника займає фронтальне положення?

а) ADC; б) BEF; в) DCEF

5. На якому рисунку задана точка А, яка належить грані багатогранника?

а) б) в)

6. На якому рисунку фігура перерізу багатогранника площиною α – чотирикутник?

а) б) в) г)

ІНФОРМАЦІЙНИЙ МОДУЛЬ 4

МЕТРИЧНІ ЗАДАЧІ НА ПЕРЕТВОРЕНИХ ПРЯМОКУТНИХ ПРОЕКЦІЯХ

4.1 Метод заміни площин проекцій

Розв’язання метричних задач можна звести до чотирьох основних типів:

1) перетворення прямої загального положення в пряму рівня;

2) перетворення прямої загального положення в проекціювальну;

3) перетворення площини загального положення в проекціювальну;

перетворення площини загального положення в площину рівня.

Найбільш поширені методи, що використовуються для цього – метод заміни площин проекцій та метод плоско-паралельного переміщення. Метод заміни площин проекцій полягає в тому, що вводиться допоміжна площина проекцій, яка перпендикулярна тільки до однієї з площин проекцій (горизонтальної Π₁, фронтальної Π₂, профільної Π₃) (рис. 4.1, 4.2).

Рисунок 4.1 – Система основних та додаткових площин проекцій:

Π₄ – додаткова площина проекцій, що перпендикулярна тільки до Π₁

Для переведення відрізка прямої із загального положення в положення рівня для визначення, наприклад, натуральної довжини, необхідно ввести додаткову площину паралельно одній з проекцій відрізка (рис. 4.3, 4.4).

a

б

Рисунок 4.2 – Утворення плоскої моделі систем площин проекцій: а – проміжний етап трансформації; б – плоска модель, що утворена в результаті трансформації

Рисунок 4.3 – Введення додаткової площини проекцій для визначення довжини відрізка загального положення

Рисунок 4.4 – Визначення довжини відрізка за умови задання АВ (А₁В₁, А₂В₂)

Для того, щоб перетворити пряму загального положення в проекціювальне положення необхідно ввести допоміжну площину перпендикулярно до проекції відрізка, яка є його натуральною величиною (рис.4.5, 4.6). Якщо пряма займає загальне положення, то переведення в проекціювальне положення відбувається в два етапи: спочатку в пряму рівня, а потім в проекціювальну пряму.

Рисунок 4.5 – Перетворення прямої рівня в проекціювальну пряму (наочне зображення)

Рисунок 4.6 – Перетворення прямої рівня в проекціювальну пряму (комплексне креслення)

Для переведення площини із загального положення в проекціювальне та в площину рівня необхідно застосувати такий алгоритм (рис.4.7):

1) вводимо горизонталь або фронталь;

2) вводимо допоміжну площину проекцій перпендикулярно до горизонтальної проекції горизонталі;

3) переводимо площину в проекціювальне положення;

4) вводимо нову допоміжну площину паралельно площині в проекціювальному положенні;

5) переводимо площину в натуральну величину.

Розглянемо геометричні підстави для розв’язання деяких метричних задач.

Рисунок 4.7 – Перетворення проекціювальної площини в площину рівня

Для визначення відстані між двома паралельними прямими необхідно перевести обидві прямі в проекціювальне положення (рис. 4.8). Якщо прямі займають загальне положення, то необхідно провести два послідовних перетворення: спочатку ввести додаткову площину для переведення прямих в натуральну величину, а потім ввести додаткову площину перпендикулярно до отриманих проекцій прямих.

Рисунок 4.8 – Визначення відстані між двома паралельними прямими

Рисунок 4.9 – Визначення відстані між двома мимобіжними прямими

Для визначення відстані між двома мимобіжними прямими необхідно знайти найкоротшу відстань. Для цього необхідно виконати перетворення таким чином, щоб одна з прямих зайняла проекціювальне положення, тобто спроекціювалася в точку. Перпендикуляр з цієї точки визначає шукану відстань (рис.4.9). Якщо обидві прямі початково займають загальне положення, то перетворення відбувається в два етапи: 1) вводиться додаткова площина проекцій таким чином, щоб одна з прямих спроекціювалась в натуральну величину; 2) вводиться додаткова площина перпендикулярно до отриманої натуральної величини.

Для визначення відстані між точкою та площиною необхідно перетворити площину в проекціювальне положення та опустити перпендикуляр з отриманої проекції точки на пряму, що є проекцією площини (рис.4.10). Якщо площина займає загальне положення, то потрібно спочатку перевести задану площину в проекціювальне положення (рис.4.7).

Рисунок 4.10 – Визначення відстані між точкою та площиною

Для визначення величини двогранного кута між площинами необхідно ввести додаткову площину перпендикулярно до ребра, при якому визначається кут, тобто перевести вказане ребро в проекціювальне положення. При цьому кожна площина спроекціюється в пряму (рис.4.11). Якщо ребро при двогранному куті займає загальне положення, то потрібно спочатку перевести його в натуральну величину, а вже потім – в точку.

Рисунок 4.11 – Визначення величини двогранного кута між площинами

Задачі для самостійного розв’язування

Задача № 35

Побудувати додаткову проекцію багатогранника на площину проекцій Π₄.

Задача № 36

Визначити натуральну величину площини, заданої чотирикутником

Задача № 37

Визначити натуральну величину відрізка прямої a.

Задача № 38

Визначити натуральну відстань між точкою А та площиною α.

Задача № 39

Визначити:

а) натуральну величину двогранного кута при ребрі АВ;

б) натуральну величину грані АВС;

в) кут нахилу відрізка BD до площини Π₁.

4.2 Метод плоскопаралельного переміщення

Метод плоскопаралельного переміщення полягає в тому, що геометричний об’єкт переміщують відносно нерухомих площин проекцій таким чином, щоб він зайняв положення, яке є зручним для розв’язання задачі. При цьому одна з проекцій фігури, що переміщується, не змінює своїх розмірів. Всі задачі, що розв’язуються за допомогою методу плоскопаралельного переміщення, як і в методі заміни площин проекцій зводяться до чотирьох типів.

Рисунок 4.12 – Визначення натуральної величини відрізка прямої загального положення (наочне зображення)

Рисунок 4.13 – Визначення натуральної величини відрізка прямої загального положення (проекційне креслення)

Для переведення відрізка прямої із загального положення в положення рівня необхідно одну з проекцій перемістити в положення паралельне осі, тобто і певній площині проекцій (рис.4.12, 4.13). Проекція , що отримана як результат являє собою натуральну довжину відрізка АВ.

Для того, щоб перетворити пряму з загального положення в проекціювальне необхідно спочатку пряму перевести в натуральну величину (рис.4.12), а потім проекцію, що являє натуральну величину перемістити перпендикулярно до осі (рис.4.14).

Рисунок 4.14 – Переведення натуральної величини відрізка прямої загального положення в проекціювальне (проекційне креслення)

Для переведення площини із загального положення в проекціювальне та в площину рівня необхідно застосувати такий алгоритм:

1) в заданій площині вводимо горизонталь або фронталь;

2) переміщаємо площину проекцій таким чином, щоб горизонтальна проекція горизонталі (або фронтальна проекція фронталі) була перпендикулярно до осі;

3) проекціюємо на іншу площину;

4) переміщуємо проекціювальну площину паралельно осі (рис.4.15, 4.16);

5) переводимо площину в натуральну величину.

Рисунок 4.15 – Визначення натуральної величини трикутного відсіку площини, заданої ΔАВС (наочне зображення)

Рисунок 4.16 – Визначення натуральної величини трикутного відсіку площини, заданої ΔАВС (проекційне креслення)

Задачі для самостійного розв’язування

Задача № 40

Визначити натуральну величину відрізка прямої АВ загального положення.

Задача № 41

Визначити натуральну величину

відстані від точки А до прямої СD.

Задача № 42

Визначити натуральну величину

відстані між паралельними прямими.

Задача № 43

Визначити натуральну величину трикутного відсіку площини загального положення.

Задача № 44

Визначити натуральну величину

лінійного кута при вершині А.

Задача № 45

Визначити відстань між

двома мимобіжними прямими.

Задача № 46

Знайти:

а) проекції центра кола, вписаного в трикутник АВС;

б) проекції центра кола, описаного навколо трикутника АВС.

4.3 Контрольний тест до інформаційного модуля 4

1. Скільки додаткових площин проекцій необхідно ввести для визначення довжини відрізка прямої загального положення?

а) одну;

б) дві;

в) три.

2. Оберіть правильний варіант розв’язування задачі на переведення прямої АВ із загального в проекціювальне положення:

а) б) в)

3. Скільки додаткових площин проекцій необхідно для приведення плоскої фігури загального положення в проекціювальне?

а) одну; б) дві; в) три.

4. Оберіть правильний варіант введення додаткової площини для переведення площини, заданої ΔАВС в проекцію вальне положення.

а) б) в)

5. Оберіть правильний варіант визначення відстані між точкою та прямою

а) б) в)

6. Скільки переміщень треба зробити для перетворення прямої АВ в пряму рівня?

а) одне;

б) два;

в) три.

7. Скільки переміщень треба зробити для перетворення площини α(АВС) в площину рівня?

а) одне;

б) два;

в) три.

8. Для визначення відстані між точкою С та площиною β(a║b) необхідно таке перше перетворення:

а) a₂║b₂ перемістити

перпендикулярно X _1,2;

б) a₁║b₁ перемістити

перпендикулярно X _1,2;

в) a₂║b₂ перемістити

паралельно X _{1,2 .}

ІНФОРМАЦІЙНИЙ МОДУЛЬ 5

КРИВІ ПОВЕРХНІ

5.1 Загальна характеристика формоутворення кривих ліній та кривих поверхонь

Крива лінія – це геометричне місце послідовних положень точки, що здійснює неперервний рух в просторі. При утворенні кривої лінії у такий спосіб її можна подати у вигляді множини точок, які їй належать, і відобразити на комплексному кресленні як сукупність відповідних проекцій окремих точок множини, що показано на рис.5.1.

Рисунок 5.1 - Комплексне креслення кривої лінії

Криву поверхню можна розглядати як траєкторію переміщення деякої лінії ( твірної), що здійснює неперервний рух в просторі. Деякі поверхні утворюються внаслідок руху лінії постійної форми, інші так, що твірна разом зі зміною положення в просторі змінює також і свою форму. Поверхню, показану на рис. 5.2, у такому випадку розглядають як однопараметричну множину твірних {ℓ}.

Закон переміщення твірної зручно задавати деякими сталими лініями, що мають назву напрямних ліній.

Рисунок 5.2 – Каркас кривої поверхні

Кожна точка твірної при її русі описує деяку лінію m, сукупність яких складає також однопараметричну множину {m} (див. рис. 5.2 ).

З кривих ℓi та mi складається так званий сітчастий каркас кінематичної