Изоморфизм линейных пространств
Операции с элементами линейного пространства в координатном представлении
Определение. Коэффициенты разложения называются координатами (или компонентами) элемента x линейного пространства в базисе .
Элемент линейного пространства в базисе однозначно представляется n-компонентным столбцом, называемым координатным представлением элемента в базисе :
.
В базис может быть выбран не единственным способом и потому необходимо установить правило изменения координат элемента линейного пространства при переходе от одного базиса к другому.
Пусть в даны два базиса: “старый” и “новый” с соответствующими координатными разложениями элемента x:
и .
Пусть, кроме того, известны разложения элементов “нового” базиса по элементам “старого”:
(13.1)
Определение. МатрицаS, j-й столбец которой состоит из коэффициентов координатных разложений элементов “нового” базиса по элементам “старого”, называется матрицей перехода от базиса к базису .
Теорема 13.7Координаты и связаны соотношениями
,
называемыми формулами перехода, где коэффициенты – элементы матрицы перехода .
Доказательство.
В силу соотношений (13.1) будут справедливы равенства
или
.
Но если линейная комбинация линейно независимых (в данном случае, базисных) элементов равна нулевому элементу, то она тривиальная. Откуда получаем, что
.
Теорема доказана.
Пусть в некотором базисе
и ,
тогда в силу определения базиса и аксиом линейного пространства будут справедливы следующие соотношения:
(1). Операция сравнения: два элемента в равны тогда и только тогда, когда
,
или в координатной форме
(2). Операция сложения:
,
или в координатной форме.
(3). Операция умножения на число:
,
или в координатной форме
Откуда следует, что элементы конечномерного линейного пространства не только могут представляться матрицами (столбцами), но и правила выполнения операций с этими элементами совпадают с определением соответствующих матричных операций.
Два линейных пространства и называются изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение :® такое, что для и
;
Отображение называется изоморфизмом линейных пространств и .
Напомним, что отображение является взаимно однозначным, если
а) разные элементы из имеют в разные образы;
б) каждый элемент из является образом некоторого элемента из .
Теорема 13.8Два линейных конечномерных пространства и изоморфны тогда и только тогда, когда их размерности равны.
Доказательство.
Пусть . Принимая правило отображения, при котором каждому элементу ставится в соответствие элемент из , имеющий те же самые координаты, а также используя правила действий с элементами в координатном представлении, приходим к изоморфизму и .
Допустим, что , где и изоморфны. Тогда некоторый набор n линейно независимых элементов из отображается в n элементов в , которые обязаны быть линейно зависимыми. Поскольку при изоморфизме нулевой элемент переходит в нулевой элемент, то мы приходим к противоречию с предположением о линейной независимости выбранных n элементов из .
В случае аналогичные рассуждения также приводят к противоречию, и, следовательно, .
Теорема доказана.