Изоморфизм линейных пространств

Операции с элементами линейного пространства в координатном представлении

Определение. Коэффициенты разложения называются координатами (или компонентами) элемента x линейного пространства в базисе .

 

Элемент линейного пространства в базисе однозначно представляется n-компонентным столбцом, называемым координатным представлением элемента в базисе :

.

В базис может быть выбран не единственным способом и потому необходимо установить правило изменения координат элемента линейного пространства при переходе от одного базиса к другому.

Пусть в даны два базиса: “старый” и “новый” с соответствующими координатными разложениями элемента x:

 

и .

 

Пусть, кроме того, известны разложения элементов “нового” базиса по элементам “старого”:

(13.1)

 

Определение. МатрицаS, jстолбец которой состоит из коэффициентов координатных разложений элементов “нового” базиса по элементам “старого”, называется матрицей перехода от базиса к базису .

 

Теорема 13.7Координаты и связаны соотношениями

,

называемыми формулами перехода, где коэффициенты – элементы матрицы перехода .

 

Доказательство.

 

В силу соотношений (13.1) будут справедливы равенства

 

 

или

.

 

Но если линейная комбинация линейно независимых (в данном случае, базисных) элементов равна нулевому элементу, то она тривиальная. Откуда получаем, что

.

 

Теорема доказана.

 

Пусть в некотором базисе

 

и ,

 

тогда в силу определения базиса и аксиом линейного пространства будут справедливы следующие соотношения:

 

(1). Операция сравнения: два элемента в равны тогда и только тогда, когда

,

 

или в координатной форме

 

(2). Операция сложения:

,

 

или в координатной форме.

 

 

(3). Операция умножения на число:

 

,

 

или в координатной форме

 

Откуда следует, что элементы конечномерного линейного пространства не только могут представляться матрицами (столбцами), но и правила выполнения операций с этими элементами совпадают с определением соответствующих матричных операций.

 

 

Два линейных пространства и называются изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение :® такое, что для и

;

Отображение называется изоморфизмом линейных пространств и .

 

Напомним, что отображение является взаимно однозначным, если

 

а) разные элементы из имеют в разные образы;

б) каждый элемент из является образом некоторого элемента из .

 

Теорема 13.8Два линейных конечномерных пространства и изоморфны тогда и только тогда, когда их размерности равны.

Доказательство.

 

Пусть . Принимая правило отображения, при котором каждому элементу ставится в соответствие элемент из , имеющий те же самые координаты, а также используя правила действий с элементами в координатном представлении, приходим к изоморфизму и .

Допустим, что , где и изоморфны. Тогда некоторый набор n линейно независимых элементов из отображается в n элементов в , которые обязаны быть линейно зависимыми. Поскольку при изоморфизме нулевой элемент переходит в нулевой элемент, то мы приходим к противоречию с предположением о линейной независимости выбранных n элементов из .

В случае аналогичные рассуждения также приводят к противоречию, и, следовательно, .

 

Теорема доказана.