Лабораторна робота №13.

Розв’язування задач аналітичної геометрії засобами табличного процесора MS Excel.

Мета роботи:навчитися використовувати засоби табличного процесора MS Excel для побудови ліній на площині, кривих другого порядку на площині, навчитися графічно розв’язувати системи рівнянь, будувати поверхні в тривимірному просторі.

Теоретичний матеріал:повторити методику побудови діаграм в MS Excel, засіб MS Excel Таблица подстановки с двумя входами.

ЗАВДАННЯ ДО РОБОТИ:

1.Лінії на площині.

Рівнянням прямої на площині 0ху називається рівняння F(х;у) = 0 або у = f(х), яким задовольняють координати х і у біля будь-якої точки, яка лежить на лінії і не задовольняють координати будь-якої точки, що не лежить на ній. Якщо дано рівняння, то можна сказати, що лінія визначена рівнянням в деякій системі координат, це геометричне місце точок (ГМТ), координати яких задовольняють рівнянню.

1.1. Розглянемо побудову прямої в Ехсеl на прикладі рівняння у = 2х +1. Необхідно побудувати відрізок прямої, який лежить в 1 квадранті (х є [0; 3]) з кроком Δ = 0,25.

1.1.1. Введення даних. Складемо таблицю початкових даних (х і у):

В комірку А5 вводимо початкове значення х = 0 (ліва границя діапазону), в комірку А6 введемо друге значення: ліва границя плюс крок . Табулюємо значення аргументу до комірки А17. Значення аргументу введені.

Далі потрібно вводити значення функції. В комірку В5 вводимо функцію у вигляді =$D$3*A5+$E$3. Після натискання клавіші Ввод в комірці В5 повинно з’явитися значення даної функції (1), що відповідає значенню аргументу в комірці А5. Тепер необхідно скопіювати функцію з комірки В5 в комірки В6:В17. Для цього встановлюємо табличний курсор в комірку В5, і за правий нижній кут протягуванням табулюємо формулу до комірки В17. Значення функції отримані.

1.1.2. Вибір виду діаграми. У діалоговому вікні Мастер диаграмм (крок 1 з 4): Тип диаграммы вибрати вид діаграми – График с маркерами, помечающими точки данных.

Після чого натискаємо кнопку Далее в діалоговому вікні :

1.1.3. Вказівка діапазону. У діалоговому вікні Мастер диаграмм (крок 2 з 4): Источник данных диаграммы вибираємо вкладку Диапазон данных і в полі Диапазон вказати інтервал даних, тобто ввести посилання на комірки, в яких знаходяться значення функції у = 2х + 1 .

У робочому полі Диапазон повинен з'явитися запис: =Лuст1!$В$5:$В$17.

Далі необхідно вказати в рядках або стовпцях розташовані ряди даних. У прикладі значення крапок прямою розташовані в стовпці, тому перемикач Ряды в за допомогою покажчика миші слід встановити в положення стовпцях (чорна точка повинна стояти біля слова стовпцях).

1.1.4. Введення підписів по осі Х (горизонтальною). У діалоговому вікні Мастер диаграмм (крок 2 з 4): Источник данных диаграммы необхідно вибрати вкладку Ряд і в полі Подписи оси Х вказати діапазон даних (у прикладі - Аргумент). Для цього слід активізувати поле Подписи оси Х, клацнувши в ньому покажчиком миші та виділити діапазон комірок А5:А17. У робочому полі повинен з'явитися запис: =: Лuст1!$А$5:$А $17.

Після появи необхідного запису діапазону необхідно натиснути кнопку Далее.

1.1.5. Введення заголовків. У третьому вікні Мастер диаграмм (шаг 3 из 4): параметры диаграммы потрібно ввести заголовок діаграми і назви осей. Після чого натиснути кнопку Далі.

1.1.6. Вибір місця розміщення. У четвертому вікні Мастер диаграмм (крок 4 з 4): Размещение диаграммы необхідно вказати місце розміщення діаграми: у поточному листі.

1.1.7. Завершення. Якщо діаграма в демонстраційному полі має бажаний вигляд, необхідно натиснути кнопку Готово. Інакше слід натиснути кнопку Назад і змінити установки.

Вправи для самостійної роботи:

Завдання 1.Побудувати бісектрису I – III координатних кутів декартової системи координат в інтервалі х [-3; 3] з кроком Δ = 0,5.

Завдання 2. Побудувати пряму 3х + 2у – 4 = 0 в інтервалі х [-1; 3 ] з кроком Δ = 0,25.

Завдання 3. Побудувати пряму, яка перетинає вісь ординат в точці А (0;2), а вісь абсцис в точці В (3;0) в інтервалі х [-1; 4] з кроком Δ = 0,25.

Завдання 4. Побудувати пряму яка проходить через початок координат і точку А (2;3) в інтервалі х [-1; 4] з кроком Δ = 0,25.

Завдання 5. Побудувати пряму яка проходить через точки А (0;3), В (2;2) в інтервалі х [-1; 4] з кроком Δ = 0,25.

Завдання 6. Побудувати пряму з умовним коефіцієнтом а = 3/5 і яка проходить через точку К (-1; 2) в інтервалі х [-1; 3] з кроком Δ = 0,25.

Завдання 7. Побудувати пряму, яка проходить через дві дані точки M(3; -7) і N(-2; 4) в інтервалі х [-3; 3] з кроком Δ = 0,25.

Завдання 8. Побудувати пряму, що задана загальним рівнянням l: 3х – 5у +15 = 0 в інтервалі х [-1; 3] з кроком Δ = 0,25.

Завдання 9. Побудувати пряму, яка проходить через точку

А (2; -4), паралельно прямій l: 2х – 3у +1 = 0 в інтервалі х [-1; 3] з кроком Δ = 0,25.

Завдання 10. Відомі точки А (-4; 0), В (1; -3), С(4; -2). Побудувати пряму l , яка проходить через А і паралельно ВС в інтервалі х [-1; 3] з кроком Δ = 0,25.

2. Криві другого порядку на площині.

Кривими другого порядку, що розглядається в курсі аналітичної геометрії, відносяться парабола, гіпербола, коло і еліпс. Будь-яка крива другого порядку в загальному вигляді описується рівнянням з двома змінними другого степеня:

Ах² + 2Вху + Су² + 2Dx + 2Еу + F = 0.

Коефіцієнти А, В и С не дорівнюють нулю. Вказані вище криві другого порядку є частковими випадками даного рівняння.

2.1.Розглянемо побудову параболи виду у = х² в діапазоні х ε [-3; 3] з кроком = 0,5.

2.1.1. Введення даних. Будуємо таблицю початкових даних. В комірку А5 вводимо початкове значення аргументу: х = -3 (ліва границя діапазону), в комірку А6 введемо друге значення: =A5+$C$3 ліва границя плюс крок - 0,5. Тепер необхідно протабулювати задану функцію в із кроком до комірки А17. Значення аргументу введені.

В комірку В5 вводимо функцію у вигляді =A5^$E$3. Тепер необхідно скопіювати функцію з комірки В6 в комірки В6:В17. Для цього встановлюємо табличний курсор в комірку В6, і за правий нижній кут протягуванням табулюємо до комірки В17. Значення функції отримані.

2.1.2. Вибір виду діаграми. У діалоговому вікні Мастер диаграмм (шаг 1 из 4): Вид диаграммы вказати вид діаграми – График, с маркерами помечающими точки данных .

2.1.3. Вказівка діапазону. У діалоговому вікні, що з'явилося, Мастер диаграмм (шаг 2 из 4): джерело даних діаграм необхідно вибрати вкладку Диапазон данных і в полі Диапазон вказати інтервал значень функції .

Для цього за допомогою клавіші Delete необхідно очистити робоче поле Диапазон і виділити діапазон комірок В5:В17. У робочому полі повинен з'явитися запис: =Лuст1!$В$5:$В$17. Далі вказати ряди даних.

2.1.4. Введення підписів по оси категорий. У діалоговому вікні Мастер диаграмм (крок 2 з 4): джерело даних діаграм необхідно вибрати вкладку Ряд і в полі Подписи оси Х вказати діапазон комірок А5:А17. Для цього слід активізувати поле Подписи оси Х, клацнувши в нім покажчико миші, і виділити діапазон комірок А5:А17. У робочому полі повинен з'явитися запис: =Лист1!$А$5:$А$17.

2.1.5.Введення заголовків. У третьому вікні Мастер диаграмм (крок 3 з 4): параметры диаграммы потрібно ввести заголовок діаграми і назви осей.

2.1.6. Натискаємо кнопку Готово і на поточному листі повинна з'явитися діаграма:

Вправи для самостійної роботи:

1. Побудувати гіперболу у = 1/х діапазоні х Є [0,1; 10,1] з шагом Δ = 0,5.

2. Побудувати верхню півколо х² + у² = 4 в діапазоні х Є [-2; 2] з шагом Δ = 0,25.

3. Побудувати верхню половину еліпса х²/9 + у²/4 = 1 в діапазоні х Є [-3,5; 3,5] з шагом Δ = 0,5.

4. Побудувати гіперболу у = 1/(2х) в діапазоні х Є [0,1; 5,1] з шагом Δ = 0,25.

5. Побудувати верхню півколо еліпса х²/4 + у² = 1) в діапазоні х Є [-2,25; 2,25] з шагом Δ = 0,25.

6. Побудувати коло, що має центр в фокусі параболи у² = 2рх і доторкається її директриси, якщо р = 2,5. Діапазон і шаг вибрати самостійно

7. Побудувати безліч точок, однаково віддалених від F(0;2) та від прямої у = 4. Знайдіть точки перетину цієї кривої з осями координат і побудуйте її

8. Побудувати параболу (діапазон і шаг виберіть самостійно), що проходе через точки (0;0) и (1;-3) і симетричну відносно осі 0х.

9. Побудувати параболу (діапазон і шаг вибрати самостійно), що проходе через точки (0;0) і (2;-4) і симетричну відносно осі 0у.

10. Побудувати безліч точок, однаково віддалених від початку координат і від прямої х = -4. Знайдіть точки перетину цієї кривої з осями і побудуйте її. Діапазон і шаг виберіть самостійно.

3.Графічно вирішити систему двох рівнянь, ураховуючи, що графічний метод розв’язання системи двох рівнянь зводиться до знаходження точок перетину кривих.

1.Варіант 1.

у = sin х

у = cos х

В діапазоні х Є [0; 3] з шагом Δ = 0,2.

2. Варіант 2.

у = ln х

у = -2х + 1

В діапазоні х Є [0,2; 3] з шагом Δ = 0,2.

3. Варіант 3.

у = 2 / х

у² = 2х

В діапазоні х Є [0,2; 3] з шагом Δ = 0,2.

4. Варіант 4.

у² + х² = 4

у = 2 sin х

В діапазоні х Є [0; 3] з шагом Δ = 0,2.

5. Варіант 5.

4у² + 9х² =36

у² + х² / 9 = 1

В діапазоні х Є [0; 3] з шагом Δ = 0,2.

6. Варіант 6.

х³ + у³ = 7

х³ * у³ = -8

Діапазон і шаг вибрати самостійно.

7. Варіант 7

х + у = 5π/6

cos² х + cos² у = 0,25

Діапазон і шаг вибрати самостійно.

8. Варіант 8

sin х *cos у = 0,25

sin у *cos х = 0,75

Діапазон и шаг выбрать самостоятельно.

9. Варіант 9

2х * 3у = 6

3х * 4у = 12

Диапазон і шаг вибрати самостійно.

10. Вариант 10

log_у х + log_х у = 2

х² – у = 20

Диапазон і шаг вибрати самостійно.

4.Будова площини та поверхні другого порядку в просторі.

Загальний вираз поверхні другого порядку має вид рівняння другого степеня:

Ax² + By² + Cz² + 2Dxy + 2Eyz + 2Fzx + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0.

Причому коефіцієнти A, B, C, D, E, F не можуть бути рівні нулю одночасно. Окремі випадки: рівняння поверхні другого порядку є основні поверхні другого порядку: еліпсоїд, гіперболоїд та параболоїд.

4.1.Розглянимо побудову еліпсоїда в Excel.

Еліпсоїдом називається поверхня, що в деякій системі декартових прямокутних координат визначається рівнянням:

Це рівняння називається канонічним рівнянням еліпсоїда.

Для побудови еліпсоїда в Excel необхідно розв’язати канонічне рівняння еліпсоїда відносно змінної z.

4.1.1.Нехай еліпсоїд заданий рівнянням:

І нехай необхідно побудувати верхню частину еліпсоїда, що лежить в діапазонах , , з шагом Δ = 0,5.

4.1.2.Зпочатку виразимо змінну z через задані значення х та у:

Для рішення цієї задачі використаємо інструмент Excel – таблицею підстановки з двома входами. Для цього:

1. В комірку А1 вводимо – х.

2. В комірку А2 вводимо – у.

3. В комірку А3 = КОРЕНЬ((1-(A1^2)/9-(A2^2)/4)), використовую діалогове вікно Мастер функций.

4. В комірку А4 – ліву границю зміна діапазону х – (-3).

5. В комірку А5 формулу – ліва границя діапазону плюс шаг побудови (-2,5): =A4 + 0,5.

6. В комірку В2 вводимо значення лівої границі діапазону у – (-2).

7. В комірку В3 вводимо друге значення змінної у – ліва границя діапазону плюс шаг побудови: =B3 + 0,5.

8. За допомогою операції автозаполнения копіюємо формулу до комірки J2.

9. Встановлюємо табличний курсор в комірці A5, і, за допомогою автозаполнения копіюємо формулу в комірці А17.

10. Виділяємо комірку А3:J17.

11. Пункт меню Данные -> Таблица подстановки. В поле Подставлять значения по строкам вказуємо Х, а в поле Подставлять значения по столбцам вказуємо У.

12. В результаті повинна бути отримана наступна таблиця:

13. Для побудови діаграми викликаємо Мастер диаграмм; вказуємо тип діаграми – Поверхность, та вид – Проволочная (прозрачная) поверхность.

14. В діалоговому вікні Диапазон данных в полі діапазон вказуємо інтервал даних В4:J17, в закладці Ряд – подписи оси Х: вказуємо діапазон А4:А17. Вводимо значення підписей оси у. Для цього в робочому полі ряд вказуємо перший запис Ряд 1 і в робоче поле Имя, активуємо його вказівником миші, вводимо перше значення змінної у - -2. Потім в поле Ряд вказуємо другий запис Ряд 2 і в робоче поле Имя вводимо друге значення змінної у - -1,5. повторюємо таким чином до останнього запису – Ряд 9.

15. В третьому діалоговому вікні Мастера диаграмм вказуємо заголовок діаграми – Еліпсоїд. В кінці буде отримана наступна діаграма:

Вправи для самостійної роботи:

1.Задано гіперболічний параболоїд:

Необхідно побудувати частину параболоїда, що лежить в діапазоні [-3; 3], [-2; 2], з шагом Δ = 0,5 для обох змінних.

2. Побудувати верхню частину еліпсоїда:

Діапазони зміни змінних х та у: [-2;2] з шагом Δ = 0,5, [-3;3] з шагом Δ = 1.

3. Побудувати верхню частину однополосного гіперболоїда:

Діапазони зміни змінних х та у: [-3;3] з шагом Δ = 0,5, [-4;4] з шагом Δ = 1.

4.Побудувати еліптичний параболоїд:

Діапазони зміни змінних х та у: [-2;2] з шагом Δ = 0,5, [-3;3] з шагом Δ = 1.

5. Побудувати верхню частину конуса:

Діапазони зміни х та у: [-2;2] з шагом Δ = 0,5, [-3;3] з шагом Δ= 1.

6.Задано двухполосний гіперболоїд: .

Необхідно побудувати верхню частину гіперболоїда, що лежить в діапазонах: [-3;3], [-2;2] з шагом Δ = 0,5 для обох змінних.

7.Побудувати площину, паралельну площині 0xy та вісь, що пересікає вісь 0z в точці М(0, 0, 2). Діапазони зміни змінних х та у: [0;6] з шагом Δ = 0,5, [0;6] з шагом Δ = 1.

8. Побудувати площину, відтинає на координатних прямих відрізки а = 3, b = 2 та c = 1. Діапазони зміни змінних х та у: [-1;4] з шагом Δ = 0,5, [-1;3] з шагом Δ = 1.

9. Побудувати площину, що проходе через точки М₁(3, 3, 1), М₂(2, 3, 2), М₃(1, 1, 3). Діапазони зміни змінних х та у: [-1;4] з шагом Δ = 0,5, [-1;3] з шагом Δ = 1.

10.Необхідно побудувати частину площини: що лежить в I квадранті ( [0;6] з шагом Δ = 0,5, [0;6] з шагом Δ = 1).

Контрольні запитання:

1. Пояснити механізм побудови кривих другого порядку на плоскості.

2.Пояснити механізм побудови поверхні другого порядку в просторі.

3.Перерахувати способи редагування діаграм.

4.Спосіб застосування інструмента MS Excel Таблица подстановки с двумя входами.