Определение положений максимумов и минимумов методом зон Френеля
Таутохронность линзы и ее следствия
Дифракция Фраунгофера на щели
В случае дифракции Фраунгофера параметр b2/(Lλ ) << 1 (19.1). Это значит, что если размер препятствия b ~ λ, то расстояние до экрана наблюдения L >> b.
Пусть на длинную щель шириной b падает плоская монохроматическая волна с длиной λ.
Поместим между щелью и экраном наблюдения линзу так, чтобы экран наблюдателя находился в фокальной плоскости линзы. Линза позволяет наблюдать на экране дифракцию в параллельных лучах (L → ∞ ).
Собирающая линза обладает свойством, называемым таутохронностью: лучи, идущие от волновой поверхности AC до точки наблюдения P имеют одинаковую оптическую длину. Таким образом результат суперпозиции вторичных волн, который определяет амплитуду колебаний световой волны в точке P (см. 19.2), зависит от разности хода, набегающей в треугольнике ABC.
Для нахождения положений максимумов и минимумов интенсивности воспользуемся методом зон Френеля (19.3): разобьем сторону BC на отрезки длиной λ/2.
Из концов этих отрезков проведем линии, параллельные фронту вторичной плоской волны, идущей под углом φ. Эти линии разобьют AB - фронт первичной плоской волны на зоны Френеля. На рисунке их изображено три: AD, DE и EB. Число зон Френеля k зависит от λ и длины отрезка BC = b Sinφ . Если k целое, то
.
При четном числе зон Френеля k = 2m, где m = ±1, ±2... все зоны можно разбить на соседние пары, которые гасят друг друга (19.3). Следовательно условие минимума при дифракции Фраунгофера на щели имеет вид:
При нечетном k = 2m + 1 одна зона остается без пары и ее колебания не будут погашены, следовательно, условие максимума при дифракции Фраунгофера на щели будет иметь вид:
.
Обратим внимание, что условия формально противоположны условиям максимумов и минимумов (18.1.2.3) при интерференции от двух источников.
19.3.2.3. Зависимость интенсивности дифракционной картины от угла дифракции φ
Разобьем щель на полоски шириной dx и изобразим векторную диаграмму колебаний, посылаемых этими полосками в точку наблюдения P. При φ = 0 колебания от всех полосок будут иметь одинаковую фазу. Результирующее колебание в точке P получится в результате сложения сонаправленных бесконечно малых векторов. Векторная диаграмма (14.3) в этом случае будет иметь вид вектора длиной A0.
Для колебаний приходящих от щели в точку наблюдения P, расположенную под углом φ, векторная диаграмма имеет вид дуги окружности длиной A0.
![]() | Замыкающий эту дугу вектор Aщ является амплитудой результирующего колебания от щели при произвольном угле φ. Фазовый угол δ соответствует максимальной разности хода, равной Δ = b Sinφ . Так как
![]() ![]() |
Величину вектора Aщ найдем из геометрических соображений.
(по определению радианной меры угла).
Из треугольника COB:
.
Исключив R получим:
.
Интенсивность (16.5.4.) пропорциональна квадрату амплитуды, следовательно:
.
Учитывая связь δ с разностью хода Δ, получим связь интенсивности дифрагировавшего света с параметрами разбираемой задачи:
.
Здесь I0 - интенсивность при φ = 0.
График этой функции в осях I - Sinφ имеет следующий вид: