Чисельні методи у сфероїдній геодезії

Ще в недалекому минулому всі обчислення в області сфероїдальної геодезії виконувались з допомогою логарифмів, а пізніше з допомогою малопотужної обчислювальної техніки. При обчисленнях приходилось користуватися об'ємними таблицями тригонометричних функцій та багаточисельними таблицями різноманітних величин, що в основному залежали від широти.

В сучасних умовах, коли ми майже всі масові обчислення виконуються на ЕОМ, абсолютно відпала необхідність в складанні спеціальних таблиць для геодезичних обчислень. Достатньо мати лише обмежене число постійних величин, необхідних для розв'язку тої чи іншої задачі.

Прогрес обчислювальних методів з використанням сучасних програмних засобів дозволяє навіть обмежитись записом формул в самому загальному виді, іноді тільки у виді диференціальних рівнянь, а подальші перетворення віднести безпосередньо до процесу роботи на комп'ютері.

Характерним прикладом вибору обчислювальних методів на ЕОМ є застосування чисельних методів для розв'язку диференціальних рівнянь і обчислення еліптичних інтегралів. Такі методи були відомі давно, але на практиці не застосовувались, поскільки були досить трудомісткі і складні для ручних обчислень. Алгоритмів, якими користуються в сучасних чисельних методах дуже багато. Якщо їх реалізувати у вигляді достатньо універсальних програм, то вони можуть стати базовими і слугувати основою сучасних геодезичних технологій.

При розв'язуванні задач сфероїдної геодезії приходиться мати справу з наступними обчислювальними задачами:

• апроксимація функцій (поліномінальна, дробово-раціональна),
• чисельне інтегрування (квадратурні формули Гаусса, Чебишева),
• чисельні методи розв'язку диференційних рівнянь з початковими умовами (методи Рунге - Кутта).

Апроксимація (наближення) функцій - це заміщення різноманітних функцій "близькими" до них, але більш зручними для використання функціями. До задач апроксимації функцій з параметрами, що входять лінійно, відносяться задачі апроксимації поліномами, а з параметрами, що входять нелінійно -- дробово-раціональні апроксимації. Наближене представлення неперервної функції з допомогою полінома степені п можна отримати з допомогою ряду Тейлора та цілої низки його модифікацій, а одним із найбільш ефективних методів отримання необхідного числа дробово-раціональних наближень заданої функції є метод ланцюгових дробів.

Приклади апроксимації функції, що мають застосування в сфероїдальній геодезії, будуть наведені в кінці даної книги. Ми лише відмітимо, що безпосереднє отримання коефіцієнтів цих функцій зв'язане з довгими алгебраїчними обчисленнями і на даний час такий шлях не є ефективним, оскільки простіше виконати обчислення із заданою функцією.

Наближене обчислення визначеного інтеграла можна проводити різними методами: Сімпсона, Гаусса, Чебишева, Ромберга тощо. Розглянемо коротко тільки деякі з них.

Для обчислення інтеграла

методом Сімпсона інтервал інтегрування ділить на п рівних частин (п - парне число). Для кожної вузлової точки k (k=0,1,2,...,n) з кроком за аргументом обчислюють значення підінтегральної функції . Після цього визначений інтеграл може бути обчислений за формулою

(1.10)

За Гауссом наближене обчислення визначеного інтеграла полягає в наступному. В проміжку між граничними значеннями аргументів х=а і х =b вибирають n вузлових точок за рівнянням

,

де v_і - деяке постійне число менше одиниці, віднесене до відповідної вузлової точки. Для кожної вузлової точки за аргументом x_і обчислюють значення підінтегральної функції, яке потім домножують на деяке постійне число що відповідає цій точці.

Значення постійна Rt в залежності від n

Значення інтеграла можна обчислити за наступною формулою:

(1.11)

права частина якої тим ближча до точного значення інтегралу, чим більше використовується вузлових точок.

Метод Рунге-Кутта належать до багатоточкових однокрокових методів чисельного інтегрування систем звичайних диференційних рівнянь. Суть методу Рунге-Кутта полягає в наступному. Нехай функція визначається диференційним рівнянням

та початковими значеннями у=у₀ при х=х₀. Слід знайти чисельне значення функції у_n для заданого значення аргумента

Для визначення у_n послідовно обчислюють значення функцій у_і для рівновіддалених проміжних значень x_і=x₀+h_i (і=1,2,…n) причому за початкові приймають значення x_і-1 і y_n-1, знайдені в попередньому обчисленні. Приріст аргумента є кроком інтегрування величина якого встановлюється в залежності від заданої точності визначення функції. Функцію y_і обчислюють за формулою

(1.12)

де

(1.13)

При виводі цих формул вихідним рівнянням послужив розклад функції y_і в ряд Тейлора за степенями h до четвертого порядку.

Для розв'язування системи звичайних диференційних рівнянь

будується система рівновіддалених точок x_і=x₀+ih . Обчислення y_ji в кожній точці здійснюється за формулою

(1.14)

де j - номер рівняння системи, і - номер точки інтегрування. Коефіцієнти k_ji

визначаються за формулами, аналогічними (1.13).

Класичний метод Рунге-Кутта частково модифікувався для практичних застосувань (в основному для прискорення та спрощення процесу обчислень). Найбільш відомі модифікації Мерсона (1958) та Інгланда (19..). На даному рівні розвитку обчислювальних засобів особливого виграшу ці модифікації не дають, а отже класичний метод Рунге-Кутта залишається базовим методом чисельного інтегрування диференційних рівнянь першого порядку.