Поверхні

Рис. 1.8

В кожній точці, Q просторової кривої визначаються три прямі і три площини, що взаємно перетинаються в т.Q під прямими кутами (рис .1.8).

Прямі:

дотична, що є граничним положенням січної;

головна нормаль - перетин нормальної і стичної площин;

бінормаль- пряма, перпендикулярна до стичної площини

Площини:

нормальна площина - площина, перпендикулярна до дотичної;

стична площина - граничне положення площини, що проходить через три нескінченно близькі точки кривої Q1Q2 та Q3 коли Q1 ® Q2 і Q3 ® Q2; спрямна площина - площина, що містить дотичну і бінормаль.

Кривиною просторової кривої в даній точці називається числова характеристика відхилення кривої від прямої лінії в області даної точки кривої, її обчислюють за формулою

а радіус кривини, відповідно,

Крученням просторової кривої в даній точці називається числова характеристика відхилення просторової кривої від плоскої кривої в області даної точки.

Рівняння поверхні задається наступними формами:

F(х, у, z)=0 – неявна;

z = f(x, у) - явна;

x=x(u, v), y=y(u, v), z=z(u, v) -параметрична.

Диференціал дуги або лінійний елемент поверхні

(1.4)


де

 

Праву частину рівняння (1.4) називають першою квадратичною формою поверхні. Коефіцієнти E, F, G, що є функціями координат u та v, залежать тільки від положення точки на поверхні. Через дані коефіцієнти можна виразити також кут між кривими та площі фігур, тобто перша квадратична форма визначає метрику поверхні. При вигинанні поверхні без розтягів та розривів її рівняння звичайно змінюється, але метрика залишиться тією ж, тобто перша квадратична форма при вигинанні поверхні зберігається.

В сфероїдальній геодезії застосовується ортогональна система криволінійних параметричних координат, які утворюють на поверхні прямокутну сітку координат. В такому випадку рівняння (1.4) прийме наступний вид:

(1.5)

Важливе значення у сфероїдній геодезії мають нормальні перерізи.Вони отримуються від перетину поверхні площиною, що проходить через нормаль поверхні. Такі площини, як було вже вище сказано, називаються нормальними.

В теорії поверхонь доказується, що всі криві на поверхні, які проходять через задану точку в одному і тому ж напрямі (тобто які мають спільну дотичну) і які мають спільну стичну площину, мають в цій точці однакову кривину К . Відповідно, кривина довільної кривої рівна, кривині плоского перерізу, що є слідом перетину поверхні стичною площиною даної кривої.

Якщо позначити радіус кривини кривої, у якої головна нормаль збігається з нормаллю до поверхні через R0 , тоді радіус кривини якої завгодно кривої на поверхні буде визначатися згідно формули:

(1.6)

де v - кут, утворений головною нормаллю кривої та нормаллю до поверхні. Формула (1.6) виражає відому теорему Меньє:

Радіус кривини якої завгодно кривої на поверхні рівний радіусу кривини нормального перерізу ,що має з нею спільну дотичну, помноженому на косинус кута між нормаллю до поверхні та головною нормаллю кривої.

Величина називається ще нормальною кривиною.

В нормального перерізу хоча б в одній точці головна нормаль збігається з нормаллю до поверхні. Ця точка називається геодезичною точкою. В геодезичній точці нормального перерізу кут v (ф-ла 1.6) рівний нулю. Відповідно, нормальна кривина рівна кривині нормального перерізу в його геодезичній точці. Криву на поверхні, в якої всі точки геодезичні, тобто головна нормаль збігається з нормаллю до поверхні у всіх точках, називають геодезичною лінією. Геодезичні лінії на поверхні відіграють роль прямих на площині.