Эллиптический параболоид

Эллиптический параболоид задается своим каноническим уравнением:

(1)

. Так как уравнение (1) содержит x и y во второй степени, то эллиптический параболоид с уравнением (1) симметричен относительно Oxz и Oyz, а также относительно оси Oz. Относительно плоскости Oxy, осей Ox и Oy и начала координат эллиптический параболоид не симметричен.

Таким образом, эллиптический параболоид имеет только одну ось симметрии, две плоскости симметрии и не имеет центра симметрии (центра).

. Эллиптический параболоид с уравнением (1) имеет единственную вершину – начало координат.

. Сечение плоскостью Oyz:

- парабола с вершиной O(0;0;0) и осью Oz.

Сечение плоскостью Oxz:

– парабола с вершиной O(0;0;0) и осью Oz.

Сечение плоскостью Oxy:

– точка O(0;0;0) – вершина эллиптического параболоида.

Из уравнения (1) следует, что . Таким образом, эллиптический параболоид расположен по одну сторону от плоскости Oxy и имеет с ней единственную общую точку – начало координат O(0;0;0).

. Сечение плоскостью

или – эллипс с полуосями и и центром С(0;0;h). При полуоси этого эллипса неограниченно возрастает. При эллипс превращается в точку O(0;0;0).

. Сечение плоскостью

или или

Второе уравнение этой системы можно переписать в виде: . Оно задает некоторую параболу, равную параболу с уравнением .

Итак, все сечения поверхности (1) плоскостями, параллельными плоскости Oxz, являются параболами.

Аналогично можно показать, что все сечения поверхности (1) плоскостями с уравнением вида (т.е. плоскостями ) также есть параболы.

. Если в уравнении (1) , то получаем поверхность, называемую параболоидом вращения с каноническим уравнением:

. (2)

Эта поверхность получается вращением параболы с уравнениями: вокруг ее оси, т.е. оси Oz.

Можно показать, что любой эллиптический параболоид можно получить из параболоида вращения с помощью сжатия к точки, проходящей через ось вращения.

Изобразим теперь эллиптический параболоид.

. Уравнение:

(3)

Задаёт эллиптический параболоид, симметричный эллиптическому параболоиду (1) относительно Oxy.

Пример.Изобразим поверхность второго порядка

Решение.

или . – параболоид вращения с осью вращения Oz, вершина (0;0;1) .

– окружность радиуса , центр O(0;0;0).