Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах

Другие виды уравнения параболы

Фокальная хорда

Расположение относительно оси и директрисы

Ось и вершина

Исследование уравнения параболы

Пусть парабола задана каноническим уравнением:

(1)

Так как уравнение (1) содержит переменную во второй степени, то оно не изменится при замене на , следовательно, парабола симметрична относительно оси абсцисс Ox.

Других осей симметрии и центра симметрии у параболы нет.

С осью Ox парабола пересекается в начале координат, так как при имеем и .

Определение. Ось симметрии параболы называется ее осью, точка пересечения параболы с осью называется ее вершиной.

Так как (расстояние), то из (1) имеем: . Следовательно, парабола расположена относительно оси Oy, а следовательно, и относительно и директрисы по ту же сторону, что и фокус. Если , то . Следовательно, при неограниченном удалении от вершины парабола неограниченно удаляется от оси.

Определение. Фокальной называется хорда, проходящая через фокус параболы перпендикулярно ее оси.

Покажем, что ее длина равна удвоенному фокальному параметру:

1) .

2) .

3) .

4) .

5) .

Oˡ(x₀;y₀) – вершина параболы.

Теорема 1. Эллипс, отличный от окружности, гипербола и парабола являются множествами точек плоскости, для которых отношение расстояния до данной точки F к расстоянию до данной прямой l есть величина постоянная.