МОДУЛЬ 7: «ЕЛЕМЕНТИ ГЕОМЕТРІЇ. ВЕЛИЧИНИ.».

Поняття тіла обертання, їх види (циліндр, конус, куля. сфера) та їх зображення на площині.

Особливу групу многогранників складають правильні многогранники. В означенні правильного многогранника нічого не говориться про їх існування. Саме тому доведемо наступну теорему, яку можна назвати теоремою про існування правильних многогранників.

Теорема: Різних видів правильних многогранників існує не більше п’яти.

Доведення:

Для доведення теореми будемо утворювати правильні многогранники, гранями яких будуть спочатку правильні трикутники, потім чотирикутники (квадрати), потім п’ятикутники і таке інше. Утворивши їх, ми будемо з’ясовувати існують вони чи ні. При доведенні теореми нам доведеться спиратися на деякі твердження, а саме: 1) в одній вершині многогранного кута може сходитися не менше трьох граней; 2) сума плоских кутів многогранного кута менша за 360º; 3) сума внутрішніх кутів многокутника обчислюється за формулою 2d(n-2), де d=90º, а n – це кількість сторін многокутника; 4) щоб знайти величину внутрішнього кута правильного многокутника, слід суму його внутрішніх кутів поділити на кількість сторін.

Оскільки найпростішим правильним многокутником є трикутник, то з’ясуємо чи існують правильні многогранники, гранями яких є правильні трикутники. Відомо, що кожен кут правильного трикутника дорівнює 60º. Нехай в одній вершині многогранника сходиться три трикутника. Тоді сума плоских кутів многогранного (тригранного) кута дорівнює 60º•3=180º<360˚, а тому такий правильний многогранник існує. Його називають тетраедром і він має 4 грані, 4 вершини і 6 ребер, що відповідає вимогам теореми Л.Ейлера, бо 4+4-6=2. Грані цього многогранника є правильні трикутники. Цей многогранник являє собою трикутну піраміду, всі грані якої правильні трикутники.

Нехай в одній вершині многогранника сходиться чотири трикутника. Тоді сума плоских кутів многогранного (чотиригранного) кута дорівнює 60º•4=240º< 360˚, а тому такий правильний многогранник існує. Його називають октаедром і він має 8 граней, 6 вершин і 12 ребер, що відповідає вимогам теореми Л.Ейлера, бо 8+6-12=2. Грані цього многогранника є правильні трикутники. Цей многогранник являє собою дві чотирикутні піраміди, які зіставлені основами, але всі грані якої правильні трикутники.

Нехай тепер в одній вершині многогранника сходиться п’ять трикутників. Тоді сума плоских кутів многогранного (п’ятигранного) кута дорівнює 60º•5=300º<360˚, а тому такий правильний многогранник існує. Його називають ікосаедром і він має 20 граней, 12 вершин і 30 ребер, що відповідає вимогам теореми Л.Ейлера, бо 20+12-30=2. Грані цього многогранника є правильні трикутники.

Нехай в одній вершині многогранника сходиться шість трикутників. Тоді сума плоских кутів такого многогранного кута дорівнює 60º•6=360º, тобто сума плоских кутів многогранного кута не менша за 360˚. Саме тому такого правильного многогранника, в одній вершині якого сходиться шість трикутників, існувати не може. Отже, правильних многогранників, гранями, якого є трикутники є три види: тетраедр, октаедр і ікосаедр.

Наступним видом правильних многокутників є правильний чотирикутник, тобто квадрат. Відомо, що кожен кут квадрата дорівнює 90º. З’ясуємо чи існують правильні многогранники, гранями яких є квадрати. Нехай в одній вершині многогранника сходиться три квадрати. Тоді сума плоских кутів многогранного (тригранного) кута дорівнює 90º•3=270º<360˚, а тому такий правильний многогранник існує. Його називають гексаедром або кубом і він має 6 граней, 8 вершин і 12 ребер, що відповідає вимогам теореми Л.Ейлера, бо 6+8-12=2. Грані цього многогранника є правильні чотирикутники (квадрати). Цей многогранник являє собою прямокутну призму, всі грані якої правильні чотирикутник. Нехай в одній вершині многогранника сходиться чотири квадрати. Тоді сума плоских кутів такого многогранного кута дорівнює 90º•4=360º, тобто сума плоских кутів многогранного кута не менша за 360˚. Саме тому такого правильного многогранника, в одній вершині якого сходиться чотири квадрати, існувати не може. Отже, існує лише один вид правильних многогранників, гранями, якого є квадрати. Це гексаедр або куб.

Перед тим, як з’ясувати, чи існують правильні многогранники, гранями яких є правильні п’ятикутники, визначимо величину внутрішнього кута правильного п’ятикутника. Суму внутрішніх кутів будь-якого п’ятикутника обчислюємо за формулою 2d(n-2), де d=90º і n=5. Отже, 2•90º•(5-2)=180º•3=540º. Тоді кожен кут правильного многогранника дорівнює 540º:5=108º. Нехай в одній вершині многогранного кута сходиться три правильних п’ятикутника. Сума плоских кутів такого многогранного кута дорівнює 108º•3=324º<360˚, тобто такий многогранник існує. Його називають додекаедром і він має 12 граней, 20 вершин і 30 ребер, що відповідає вимогам теореми Л.Ейлера, бо 12+20-30=2. Грані цього многогранника є правильні п’ятикутники. Оскільки 108˚•4=432º, що більше за 360˚, то правильних многогранників, в одній вершині якого б сходилося чотири правильних п’ятикутника, не існує. Таким чином, існує лише один вид правильних многогранників, гранями якого є правильні п’ятикутники, - це додекаедр.

Легко показати, що гранями правильного многогранника не можуть бути правильні шестикутники, семикутники, восьмикутники тощо. Отже, існує всього п’ять видів правильних многогранників. Це, по-перше, тетраедр, октаедр і ікосаедр, гранями, яких є правильні трикутники; по-друге, гексаедр або куб, гранями, якого є квадрати; по-третє, додекаедр, гранями якого є правильні п’ятикутники. Таким чином, існує всього п’ять видів правильних многогранників. Теорему доведено.

3. Наступним видом геометричних фігур є тіла обертання. Наведемо означення цих фігур та їх елементів.

Означення: циліндром називається тіло, яке складається із двох кругів, що сполучаються паралельним перенесенням, і всіх відрізків, що сполучають відповідні точки цих кругів.

Круги називаються основами циліндра, а відрізки, що сполучають відповідні точки кіл, - твірними циліндра. Із властивостей паралельного перенесення випливають наступні властивості циліндра: 1) основи циліндра рівні; 2) основи циліндра лежать в паралельних площинах; 3) твірні циліндра паралельні; 4) твірні циліндра рівні.

А₁

О₁ ОО₁ – вісь циліндра

В₁ ОА=ОВ=О₁А₁=О₁В₁ – радіуси основ

АА₁=ВВ₁ – твірні циліндра

А АА₁В₁В – осьовий переріз

О

В

Малюнок № 14. Циліндр.

Означення: циліндр називається прямим, якщо його твірні перпендикулярні площинам основ.

Означення: висотою циліндра називається відстань між площинами основ.

Означення: віссю циліндра називається пряма, що проходить через центри основ циліндра.

Як можна одержати прямий циліндр за допомогою обертання? - обертаючи прямокутник навколо сторони. Саме тому можна прийняти наступне означення.

Означення: циліндром називається тіло, утворене обертанням прямокутника навколо однієї з сторін.

Означення: конусом називається тіло, яке складається із круга – основи конуса, точки, що не лежить в площині цього круга, - вершини конуса, і всіх відрізків, що сполучають вершину конуса з точками основи.

S S – вершина конуса

SO – вісь і висота

SA=SB - твірні

В SAB – осьовий переріз

О

А

Малюнок № 15. Конус.

Означення: конус називається прямим, якщо пряма, яка сполучає вершину конуса з центром основи, перпендикулярна площині основи.

Означення: висотою конуса називається перпендикуляр, опущений із його вершини на площину основи.

Як можна одержати прямий круговий конус обертанням? – обертанням прямокутного трикутника навколо катета.

Означення: конусом називається тіло, утворене обертанням прямокутного трикутника навколо одного з катетів.

Означення: кулею називається тіло, яке складається з усіх точок простору, які знаходяться на відстані, не більшій за дану, від даної точки.

Означення: сферичною поверхнею або сферою називається границя кулі.

Як одержати кулю обертанням? - обертанням півкруга навколо діаметра.

Означення: кулею називається тіло, утворене обертанням півкруга навколо діаметра.