Таблиця № 2. Трикутник Паскаля.

В цій таблиці у крайніх лівих і правих стовпцях стоять одиниці. У першому рядку записано С₀⁰=1, у другому - С₀⁰=1 і С₀⁰=1, у третьому – ліворуч С₂⁰=1, а праворуч С₂¹=1, а тоді, щоб обчислити С₂¹, необхідно додати числа, які стоять у попередньому рядку. Отже, С₂¹=1+1=2. Аналогічно можна обчислювати інші значення числа комбінацій, наприклад С₅³= С₄²+С₄³=6+4=10. Напрямок руху можна показати стрілками.

Запитання для самоконтролю та завдання для самостійної роботи студентів за модулем 1.

1. Чому не можна дати означення поняттю „множина”?

2. Як позначають множини?

3. Як називають предмети з яких складаються множини і як їх позначають?

4. Чому множина відноситься до неозначуваних понять?

5. Як позначають множини?

6. Як називають об’єкти множин? Як вони позначаються?

7. Які існують способи задання множин?

8. Задайте переліком п’ять множин.

9. Задайте п’ять множин за допомогою характеристичної властивості.

10. Записати десять довільних множин.

11. Записати десять порожніх множин.

12. Яка множина називається підмножиною даної множини? Як це записати?

13. На які дві групи поділяються підмножини?

14. Які існують відношення між множинами? Як вони зображаються?

15. Які дві множини називаються рівними? Як це довести?

16. За якою формулою знаходиться число підмножин даної множини?

17. Що називається геометричною фігурою, колом, відрізком?

18. Чи можуть елементами множин бути множини?

19. Задайте п’ять множин і вкажіть до кожної із них підмножину.

20. Записати всі підмножини множини А={1, 2, 3, 4, 5}.

21. Задайте дві множини і утворіть їх об’єднання.

22. Утворити об’єднання множин А та В, якщо: а) А={1,2,3,4,5}, а В={а,в,с}; б) А={1, 3, 5, 7}, а В={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

23. Задайте дві множини і утворіть їх перетин.

24. Утворіть перетин множин А={1, 2, 3, 4, 5} і В={1, 2, 4, 6,}.

25. Задайте чотири множини і утворіть їх перетини.

26. Довести А Ç В = В Ç А.

27. Доведіть закони операцій об’єднання і перетину за допомогою діаграм Ейлера-Венна чи міркуваннями.

28. Знайти різницю множин: а) А={а, в, с, d, t}, В={ а, в, t}; б) А={m,n,p,k,l}, В={а, в, с, k,l}; в) Z \ N; г) А={х/х=2 n, nÎN}, В={х /х=5n, n Î N}.

29. Довести кожен закон операцій над множинами одним із способів (міркуваннями чи за допомогою діаграм Ейлера-Венна).

30. Навести по 5 прикладів класифікацій із математики та навколишнього життя.

31. Розбити множину натуральних чисел на дві підмножини, що попарно не перетинаються.

32. Що таке впорядкована пара? Як вона позначається? Як називаються елементи, із яких складаються пари? Які пари називаються рівними?

33. Запишіть приклади впорядкованих пар, трійок.

34. Що називається кортежем довжини к? Як їх позначають? Які кортежі називаються рівними?

35. Що називається декартовим добутком множин Х і У? Як він позначається? Як його можна задавати?

36. Утворити Х´Х, якщо Х={а,в,с}.

37. Довести самостійно властивості 3-6, які пов’язують операції об’єднання, перетину, різниці та декартового добутку множин.

38. Виберіть дві скінченні множини, утворіть декартів добуток цих множин, задайте відношення між елементами цих множин кожним із шести відомих Вам способів.

39. Побудуйте граф відношення «менше» на множині Х={2, 3, 6, 7, 8} та з’ясуйте особливості цього графа.

40. Побудуйте граф відношення «≥» між елементами множини Х та з’ясуйте його особливості.

МОДУЛЬ 2: «Висловлення. Предикати. Теореми.».

Змістовний модуль 2.1. «Поняття.».

ПЛАН.

1. Поняття як форма мислення, зміст і обсяг поняття та зв'язок між ними.

2. Означувані та неозначувані поняття. Способи означення математичних понять, їх види (через найближчий рід і видову відмінність (видову ознаку), генетичні, індуктивні, або рекурсивні). Види означень понять початкового курсу математики. Структура визначення через рід та видову відмінність (видову ознаку).

3. Аксіоми. Теореми. Ознаки.

Література.

[1] – с. 51-92. [2] – с. 3-11, 96-126. [3] – с. 79-168.

1. Поняття як форма мислення, зміст і обсяг поняття та зв'язок між ними.

1. Як в школі, так і в інституті, доводиться вивчати навчальні предмети. Основними структурними компонентами будь-якого навчального предмету є такі: 1) основи, під якими розуміють вихідні наукові положення, на яких ґрунтується навчальний предмет (число, функція); 2) поняття та їх системи, відношення між ними; 3) ідеї, які виражені в навчальному тексті, в історичних фактах, задачах; 4) методи, за допомогою яких досліджується, пізнається, засвоюється учнями навчальний предмет.

Поняття – це форма мислення, яка відображає предмети і явища в їх істотних ознаках. Під ознакою поняття розуміють те, в чому предмети або явища схожі один з одним, або чим вони один від одного відрізняються. Ознаку предмета чи явища складають будь-які сторони, стани, які характеризують предмет, виділяючи його серед інших, допомагаючи розпізнавати його серед інших. Отже, ознаками поняття можуть бути властивості як наявні, так і відсутні. Кожен предмет чи явище може мати множину ознак. Всі ознаки будь-якого поняття можна поділити на такі групи: 1) одиничні або індивідуальні ознаки, які характеризують саме даний предмет, наприклад, стіл може бути білим або круглим; 2) загальні ознаки, які належать певній групі предметів, наприклад, столи можуть бути дерев’яними або скляними, або пластмасовими, або чорними; 3) істотні ознаки, які з необхідністю належать цьому поняттю, виражають його внутрішню природу, його суть, і без наявності яких поняття перестає бути цим поняттям, наприклад, стіл не існує без кришки, без двох ніжок, а трикутник не існує без трьох кутів, трьох сторін, трьох вершин; 4) неістотні ознаки, які можуть належати або не належати даному поняттю, і які не виражають суті цього поняття, наприклад, немає значення, чи стіл пластмасовий, чи залізний. Вирішальне значення для будь-якого поняття мають саме істотні ознаки. Саме тому, навчаючи дітей, потрібно формувати в них саме істотні ознаки поняття, які можуть бути як загальними, так і одиничними.

Як відомо, формами чуттєвого пізнання є сприймання та уявлення. Поняття відрізняється від форм чуттєвого пізнання тим, що сприймання та уявлення існують у свідомості людини у вигляді наочних образів окремих предметів, а поняття позбавлені наочності. Отже, поняття – це форма наукового пізнання, що відбиває істотне у виучуваних об’єктах та явищах і закріплюється спеціальними термінами (словами). Наприклад: “дерево”, “коло”, “трикутник” тощо. У математиці досить часто поняття позначаються не тільки термінами, але й спеціальними значками, наприклад: функція - ¦, трикутник - ∆, не дорівнює - ≠, дорівнює - ═, менше або дорівнює - ≤, більше або дорівнює - ≥, інтеграл - ∫, відсотки - % тощо. Таким чином, відображаючи істотне, поняття, з одного боку, не містять всього багатства індивідуальних ознак, а тому в порівнянні з формами чуттєвого пізнання, вони далі відстоять від дійсності (дерево – високе і низьке). З іншого боку, поняття ближче до дійсності, бо воно дозволяє глибше проникати в сутність оточуючої дійсності.

Досвід розвитку людства показав, що для утворення поняття необхідно виділити його істотні ознаки, але вони не лежать на поверхні. Саме тому поняття в історії людства формується протягом значного проміжку часу. В науці для утворення поняття використовують логічні прийоми: порівняння, аналіз, синтез, абстрагування, узагальнення, конкретизація, аналогії. Будь-яке поняття пов’язане із змістом та обсягом.

Означення: змістом поняття називається множина його істотних ознак, які мають всі елементи множини предметів, що належать до цього поняття.

Наприклад, змістом поняття “трикутник” є множина, яка складається з трьох елементів: мати три кути, мати три сторони, мати три вершини.

Означення: обсягом поняття називають множину предметів, яка характеризується цим поняттям.

Наприклад, обсягом поняття “трикутник” є множина всіх трикутників.

Виявляється, що між змістом і обсягом поняття існує взаємозв’язок. Збільшення обсягу поняття веде до зменшення його змісту, а збільшення змісту поняття веде до зменшення його обсягу. Проілюструємо цей зв'язок на прикладі поняття «паралелограм». Як відомо, паралелограмом називається чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні. Змістом цього поняття є такі істотні ознаки: а) бути чотирикутником; б) мати паралельні протилежні сторони. Обсягом цього поняття є множина всіх паралелограмів. Якщо ми збільшимо зміст цього поняття, тобто додамо ще одну істотну ознаку (наприклад, мати всі рівні сторони), то при цьому обсяг поняття зменшиться і буде складати множину ромбів. Якщо ми додамо ще одну ознаку (наприклад, мати прямий кут), то обсяг ще зменшиться і буде являти множину квадратів.

Якщо ж розширювати обсяг поняття, то це призведе до зменшення змісту. Так, наприклад, якщо відкинути вимоги мати три рівні сторони у множині трикутників, тобто зменшити зміст, то ми отримаємо множину рівнобедрених трикутників, яка включає в себе множину рівносторонніх трикутників. Таким чином, зміст та обсяг поняття пов’язані між собою законом обернено пропорційного відношення: збільшення обсягу веде до зменшення змісту і, навпаки, зменшення обсягу веде до збільшення змісту.

Поняття можуть мати деякі спільні ознаки, що дозволяє співставляти одні поняття з іншими. В цьому випадку поняття називають порівнюваними. Порівнювані поняття можна знайти в логічних відношеннях. Виділяють, по-перше, відношення тотожності, коли обсяги понять співпадають, але вони мають різні змісти, наприклад, квадрат – це прямокутник, у якого сторони рівні та квадрат – це ромб, у якого один кут прямий. Обсягом обох цих понять є множина квадратів, а змістом в першому випадку є такі ознаки: бути прямокутником і мати всі рівні сторони, у другому випадку змістом поняття квадрат є вже такі ознаки: бути ромбом і мати прямий кут.

Наступним відношенням, в яких можуть бути поняття, є відношення часткового збігу або перетину, яке характеризується тим, що частина обсягу одного поняття є частиною обсягу іншого поняття і, навпаки. Так у відношеннях часткового збігу знаходяться поняття прямокутника і ромба (див. наступну діаграму № 1).

Діаграма № 1. Відношення часткового збігу між поняттями.

Діаграма № 2: відношення підпорядкування між поняттями.

Третім відношенням, в якому можуть знаходитися поняття, є відношення підпорядкування, яке характеризується тим, що обсяг одного поняття є частиною обсягу іншого поняття. Так, у відношенні підпорядкування знаходяться поняття чотирикутник і трапеція, чотирикутник і паралелограм, паралелограм і квадрат (наприклад, кожен квадрат є паралелограмом, але не кожен паралелограм є квадратом). Поняття, яке має більший обсяг, називається підпорядковуючим поняттям, а поняття, що має менший обсяг, – підпорядкованим. Якщо у відношенні підпорядкування знаходяться два загальних поняття, то підпорядковуюче поняття називають родовим поняттям або родом, а підпорядковане поняття називають видовим поняттям або видом. Так, паралелограм є родовим поняттям, а поняття квадрата – видовим. Співвідношення між цими поняття представлене на діаграмі № 2.

2. Означувані та неозначувані поняття. Способи означення математичних понять, їх види (через найближчий рід і видову відмінність (видову ознаку), генетичні, індуктивні, або рекурсивні). Види означень понять початкового курсу математики. Структура визначення через рід та видову відмінність (видову ознаку).

2. У багатьох науках, зокрема в математиці, створення нового поняття розпочинається чи завершується введенням його означення. Означення - це логічна операція, яка розкриває зміст поняття. Означення поняття дає можливість розпізнавати даний об’єкт чи явище та відносити чи не відносити його до даного поняття. В науці існують різні види та способи означення понять, серед яких можна виділити принаймні наступні:

1) явні означення, які мають форму рівності або співпадання двох понять, наприклад: квадратом називається прямокутник, у якого всі сторони рівні, або ромб, у якого всі кути прямі;

б) неявні означення, які не мають форми співпадання двох понять, наприклад: коло – це межа круга;

в) генетичні означення, які розкривають способи побудови або утворення поняття, наприклад: циліндром називається геометричне тіло, утворене обертанням прямокутника навколо однієї з його сторін;

г) індуктивні (рекурентні) означення, наприклад: арифметичною прогресією називається числова послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, більший від попереднього на одне й теж саме, стале для даної послідовності, число;

д) означення через абстракцію, в якому властивості множин розкриваються через відношення рівності між ними. При таких означеннях використовується поняття розбиття множини на класи, що попарно не перетинаються, та перехід від даної множини Х до фактор-множини. Прикладом такого означення є означення натурального числа в теоретико-множинній або кількісні теорії: натуральним числом називається спільна властивість класу скінченних еквівалентних між собою множин.

У курсі математики початкової школи зустрічаються, в основному, неявні означення, серед яких можна виділити такі:

1) контекстуальні означення, в яких зміст нового поняття розкривається за допомогою частини тексту, тобто через контекст, через аналіз конкретної ситуації, що описує зміст поняття, що вводиться. Наприклад: 3+х=9. 2, 3, 6, 7, х – невідоме число, яке потрібно знайти. Яке з цих чисел потрібно підставити замість х, щоб рівність була правильною? Це число 6. В цьому контексті неявно формується поняття рівняння та його кореня;

2) остенсивні означення, які використовуються для введення термінів шляхом демонстрації об’єктів, які цим терміном позначаються. Наприклад: 9•4=36, 2•8=16 – це рівності.

Слід відзначити, що до означення понять ставлять певні вимоги, серед яких назвемо найважливіші:

1) означувані поняття та поняття, через які вони означаються, повинні бути сумірними, тобто обсяг означуваних понять повинен бути частиною обсягу поняття, через яке воно означається: поняття повинні знаходитися у відношенні часткового збігу або підпорядкування;

2) означення не повинні містити зачарованого кола, коли поняття визначається через саме себе, наприклад: маслом називається масло, паралелограмом називається такий паралелограм …;

3) в означенні слід вказати всі властивості, які дозволяють однозначно виділити об’єкти, що належать цьому поняттю;

4) в змісті поняття не повинно знаходитись надлишкових ознак. Так, наприклад, у школі прямокутником називають паралелограм, у якого всі кути прямі. Вимога всі кути прямі є надлишковою, бо достатньо вказати, що прямокутником називають паралелограм, у якого один кут прямий. Адже тоді можна було б довести, що всі кути прямокутника прямі.

Одним із видів явних означень є так зване означення через найближчий рід та видову відмінність. У такому означенні ототожнюється два поняття: 1) це означуване поняття; 2) – це поняття, через яке воно означається. Наприклад: ромб – це паралелограм, у якого всі сторони рівні. В цьому означенні ототожнюється поняття ромба і паралелограма, у якого всі сторони рівні. Якщо розглянути структуру цього означення, то вона складається з таких структурних елементів: по-перше, з означуваного поняття, тобто ромба; по-друге, вказується поняття, яке називають визначальним або родовим поняттям, тобто паралелограм; по-третє, вказується властивість, яка відрізняє нове поняття від визначального, тобто властивість “мати рівні сторони”. Поняття паралелограма є родовим поняттям по відношенню до поняття “ромб“. Властивість “мати рівні сторони“ є видовою ознакою, а поняття “ромб“ є видовим поняттям. Структуру такого означення можна представити у вигляді схеми (див. схему № 1).

= +

ромб

Схема № 1. Структура означення через найближчий рід та видову відмінність.

3. Аксіоми. Теореми. Ознаки.

3. У математиці доволі часто доводиться формулювати, а потім і доводити, певні твердження. Серед них виділяють принаймні дві групи тверджень. До першої відносять аксіоми, під якими розуміють твердження, справедливість яких приймається без доведення. Як правило, аксіоми використовуються при побудові математичних теорій. При цьому використовують не одну, а цілу систему аксіом, яка повинна задовольняти певні вимоги (повнота, несуперечливість, незалежність). Більш детально з аксіомами та вимогами до системи аксіом ми будемо знайомитися при подальшому вивченні курсу математики у внз. Так, із шкільного курсу геометрії відомо про систему аксіом геометрії, яка містить п’ять груп аксіом. Не можна стверджувати, що аксіоми не потребують доведення в силу своєї очевидності. Наприклад, історія розвитку геометрії дає підстави твердити, що протягом кількох століть вчені не припиняли спроб довести аксіому паралельності, тобто її істинність була далеко неочевидною. Так само, далеко неочевидними є значна частина аксіом, які використовуються при побудові інших математичних теорій. Таким чином, аксіома – це твердження, яке приймається без доведення, але його справедливість перевірена багатовіковим досвідом людства, причому воно весь час виявлялося істинним.

Другу групу складають твердження, які прийнято називати теоремами. Кожна теорема потребує доведення. Існують різні види теорем. Так, теореми існування доводяться для того, щоб показати, що певний математичний об’єкт існує. Теореми єдиності засвідчують однозначність того чи іншого математичного об’єкту, наприклад теореми про єдиність (однозначність) арифметичних операцій, без яких не можна було одержувати однакові результати цих операцій. Теореми, які називають ознаками, дають можливість відносити той чи інший об’єкт до певного класу або робити висновки, не виконуючи певних дій. Так, наприклад, говорять про ознаки паралельності прямих, про ознаки паралелограма, про ознаки подільності чисел тощо.

МОДУЛЬ 2: «Висловлення. Предикати. Теореми.».

Змістовний модуль 2.2. «Висловлення та предикати.».

ПЛАН.

1. Поняття висловлення, їх види (елементарні, складені, рівносильні) та позначення.

2. Поняття предиката, його позначення та область визначення. Поняття кванторів існування та загальності, їх позначення та зв'язок між ними.

3. Операція заперечення над висловленнями та предикатами. Таблиці істинності. Основні властивості (закони) операції заперечення.

4. Операція кон’юнкції над висловленнями та предикатами. Її таблиця істинності. Основні властивості (закони) операції кон’юнкції.

5. Операція диз’юнкції над висловленнями та предикатами. Її таблиця істинності. Основні властивості (закони) операції диз’юнкції.

6. Операція імплікації над висловленнями та предикатами. Її таблиця істинності. Основні властивості (закони) операції імплікації.

7. Операція еквіваленції над висловленнями та предикатами. Її таблиця істинності. Основні властивості (закони) операції еквіваленції.

8. Логічні формули. Порядок виконання логічних операцій у формулах. Рівносильні формули. Тотожньо істинні формули (логічні закони).

Література.

[1] – с. 51-92. [2] – с. 3-11, 96-126. [3] – с. 79-168.

1. Поняття висловлення, їх види (елементарні, складені, рівносильні) та позначення.

1. Як люди передають свої судження в повсякденному житті? - усно чи письмово за допомогою речень. Які речення ви знаєте? - окличні, запитальні, стверджувальні. Чому стверджувальні речення займають особливе місце у спілкуванні між людьми? - бо вони містять певну інформацію і відносно них можна стверджувати істинні вони чи хибні. Наведіть приклади стверджувальних речень! З'ясуйте істинні вони чи хибні? - такі речення називають висловленнями. Вони є об'єктом вивчення математичної логіки галузі математики, яку називають математичною логікою. Чи є запитальні і окличні речення висловленнями? – ні, бо про них не можна сказати, що вони істинні або хибні.

Як же позначають висловлення? – малими буквами латинського алфавіту. Прикладом висловлень можуть бути такі: а=„Київ – столиця України”, в=„Іваненко – студент”. У математичній логіці висловлення розглядають лише з точки зору їх істинності чи хибності, абстрагуючись від конкретного їх змісту. А де розглядаються висловлення з точки зору їх змісту? – у мові. Отже, висловлення є своєрідною величиною, яка може приймати два значення – „істинне” або „хибне”. Якщо висловлення „а” істинне, то це позначають так а=1, а якщо хибне - то в=0.

Які б висловлення ви назвали простими? – ті, з яких не можна виділити більш простих висловлень. Які висловлення називаються складеними? - ті, із яких можна виділити принаймні два простих висловлення.

Означення: два складених висловлення називаються рівносильними, якщо вони одночасно істинні або одночасно хибні при будь-яких припущеннях про істинність висловлень, що входять до нього.

Символічно це позначають так: аºв.

2. Поняття предиката, його позначення та область визначення. Поняття кванторів існування та загальності, їх позначення та зв'язок між ними.

2. Чим відрізняється математична мова від звичайної? – наявністю змінних. Що станеться, якщо у висловлення ввести змінну? – воно буде мати вигляд речення зі змінною, про яке ми не зможемо сказати істинне воно чи хибне, наприклад, „х - студент”. Як з нього зробити висловлення? – підставити замість змінної х прізвище. Отже, в математичній логіці є речення, які містять змінну, заміна якої назвою деякого об'єкта перетворює його у висловлення. Їх прийнято називати предикатами з однією змінною. Термін «предикат» латинського походження, а тому його дослівний переклад з латинської мови означає присудок.

А чи можуть бути предикати з кількома змінними? – так. Чим можна замінити змінну в предикаті? – назвою конкретного предмета. А чи всяке значення може набувати змінна? – ні, таким чином, для кожного предиката слід вказати множину значень змінної. Цю множину називають областю визначення предиката. Залежно від кількості змінних предикати називають і позначають по-різному. Так, предикати, які містять одну змінну, прийнято позначати великими буквами латинського алфавіту та називати одномісними предикатами. Наприклад: А(х), В(х) тощо, а область його визначення в загальному випадку позначають Х. А(х): «х - студент», де хÎ Х. Символічний запис А(х), хÎХ читають так: на множині Х задано предикат А(х)”. Якщо х=а, то висловлення, яке отримуємо з предиката А(х) при заміні х на а, позначають А(а). Крім предикатів, що містять одну змінну, розглядають предикати, які містять дві, три, чотири або будь-яке скінченне число змінних. Їх позначають відповідно А(х;у), В(х;у;z), С(х;у;z;v), D(х₁, х₂, х₃,…,х_n). Що ж характеризують предикати? – одномісні предикати характеризують властивості об'єктів, а двомісні, тримісні тощо – відношення між об’єктами. Прикладами предикатів будуть рівняння, нерівності. Наприклад: „х>у”, „х=у”, ”х^у”, 2х+3у=7. Як із двохмісного предиката одержати висловлення? – замінити назвами конкретних предметів вже дві змінних. Аналогічно можна одержувати висловлення із тримісних, чотиримісних тощо предикатів.

Яких значень може набувати предикат після того, як замість змінної підставлено назву конкретного об’єкту? – 0 або 1. На які дві підмножини можна поділити область визначення Х предиката А(х)? - 1) на множину істинності, до якої входять всі ті хєХ, при підстановці яких у предикат він перетворюється в істинне висловлення. Її позначають Т_А; 2) на множину хибності предиката, яка містить ті значення хєХ, при підстановці яких у предикат ми отримуємо хибне висловлення. А чи можуть предикати набувати однакові значення істинності при певних значеннях змінної? – відповідь на це запитання дає наступне означення.

Означення: Два предиката А(х) і В(х) називаються рівносильними або еквівалентними, якщо вони визначені на одній множині Х і мають однакові множини істинності.

Символічно це записують так: (А(х)~В(х), хÎХ)↔(Т_А=Т_В).

Ми вже зазначали, що для одержання висловлення із предиката, слідзамінити змінну (чи змінні) назвою конкретного предмета. Таку операцію перетворення предиката у висловлення прийнято називати операцією підстановки предметної змінної. А чи є інші операції для перетворення предиката у висловлення? – виявляється, що є, але для цього спочатку введемо два нових поняття.

У повсякденному житті та мові, в математиці досить часто зустрічаються слова чи словосполучення: «існує такий (така, таке, такі)», «є такий (така, таке, такі)». У математичній логіці існують операції над предикатами, які певним чином відповідають цим словам чи словосполученням. З’ясуємо їхню сутність. Розглянемо на множині Х предикат А(х). Нехай властивість А мають деякі хÎХ. За допомогою висловлювання: „існує таке х, що має властивість А(х)” ми із предиката можемо одержати істинне або хибне висловлення. Наприклад, для предиката А(х):«х - місто» з допомогою слова «існує» ми отримуємо висловлення: «існує таке х, що є містом». Отже, маємо істинне висловлення. Вираз „існує х таке, що...” називається квантором існування і позначається символом ($хєХ). Символічний запис ($хєХ)А(х) читають так: „Існує х таке, що має властивість А(х)”. Дописування спереду до предиката квантора існування називається операцією навішування квантора або операцією зв'язування квантором, або операцією квантифікації. Таким чином, ці операції дозволяють одержувати із предиката істинні чи хибні висловлення. Змінна, яка зв'язується квантором, називається зв'язаною змінною. Отже, для перетворення предиката у висловлення можна використовувати дві операції: а) операцію підстановки предметної змінної; б) операцію навішування квантора. Зрозуміло, що у двомісному, тримісному тощо предикаті слід використати цю операцію стільки разів, скільки є у ньому змінних, тобто навісити квантор два, три тощо разів.

Означення: квантором існування називається така операція $, яка кожному одномісному предикату А(х), визначеному на множині Х, ставить у відповідність одне і тільки одне висловлення ($хєХ)А(х), яке буде істинним тоді і тільки тоді, коли існує хоча б одне аєХ таке, що А(а)=1.

У повсякденному житті та мові, в математиці досить часто зустрічаються слова чи словосполучення: «всі», «будь-який», «для всіх», «для кожного» тощо. У математичній логіці існують операції над предикатами, які певним чином відповідають цим словам чи словосполученням. З’ясуємо їхню сутність. Розглянемо на множині Х предикат А(х). Нехай властивість А(х) мають всі хєХ. Тоді за допомогою виразу „для всіх х” ми перетворимо предикат А(х) у висловлення. Вираз „для всіх х...” називається квантором загальності і позначається так ("хєХ). Символічний запис ("хєХ)А(х) читають так: для всіх (для любого) хєХ справедлива властивість А.

Означення: квантором загальності називається така операція ", яка кожному одномісному предикату А(х), визначеному на множині Х, ставить у відповідність одне і тільки одне висловлення ("хєХ)А(х), яке буде істинним тоді і тільки тоді, коли для кожного аєХ маємо А(а)=1.

Так само, як і у випадку з квантором існування, дописування спереду до предиката квантора загальності називається операцією навішування квантора або операцією зв'язування квантором, або операцією квантифікації. Таким чином, ці операції дозволяють одержувати із предиката істинні чи хибні висловлення. Змінна, яка зв'язується квантором, називається зв'язаною змінною. Отже, для перетворення предиката у висловлення можна використовувати три операції: а) операцію підстановки предметної змінної; б) операцію навішування квантора існування; в) операцію навішування квантора загальності. Зрозуміло, що у двомісному, тримісному тощо предикаті слід використати ці операції стільки разів, скільки є у ньому змінних, тобто навісити квантор два, три тощо разів.

Виявляється, що між кванторами існування та загальності є певний зв'язок. Для виявлення його сутності розглянемо предикат А(х;у):„х║у” на множині прямих Х. Утворимо за допомогою кванторів існування та загальності наступні висловлення: 1) ("хєХ)("уєХ)А(х;у): «для кожної прямої х і для кожної прямої у в множині прямих Х маємо х║у». Це висловлення хибне; 2) ("уєХ)("хєХ)А(х;у): «для кожної прямої у і для кожної прямої х в множині прямих Х маємо х║у». Це висловлення хибне; 3) ($хєХ)($уєХ)А(х;у): «існує пряма х і існує пряма у в множині прямих Х, що х║у». Це висловлення істинне; 4) ($уєХ)($хєХ)А(х;у): «існує пряма у і існує пряма х в множині прямих Х, що х║у». Це висловлення також істинне; 5) ($хєХ)("уєХ)А(х;у): «існує така пряма х, що для кожної прямої у із множини прямих Х, маємо х║у». Це висловлення хибне; 6) ("уєХ)($хєХ)А(х;у): «для всякої прямої у в множині прямих Х існує пряма х така, що х║у». Це висловлення істинне; 7) ("хєХ)($уєХ)А(х;у): «для всякої прямої х в множині прямих Х існує пряма х така, що х║у». Це висловлення істинне; 8) ($уєХ)("хєХ)А(х;у): «існує пряма у в множині прямих Х, така, що для всякої прямої х маємо, що х║у». Це висловлення істинне.

Розглянутий приклад засвідчує, що переставляння місцями однойменних кванторів не призводить до утворення нового висловлення. Разом з тим, переставляння місцями різнойменних кванторів може призводити до утворення відмінного не тільки за змістом, а й за значенням істинності висловлення. Усе сказане нами про застосування кванторів до двомісних предикатів переноситься на випадок предикатів довільної розмірності.

3. Операція заперечення над висловленнями та предикатами. Таблиці істинності. Основні властивості (закони) операції заперечення.

3. У звичайній мові для утворення речення, зміст якого є протилежним до даного, використовують частку «не» або словосполучення «неправильно, що…». Так само досить часто вони використовуються у математичних твердженнях. Цій частці чи словосполученню у математичній логіці певним чином відповідає операція заперечення, сутність якої розкриємо спочатку на такому прикладі. Розглянемо висловлення: а=„Річка Устя – притока Горині”. Це висловлення є істинним. Утворимо хибне висловлення: „річка Устя - не притока Горині” або «неправильно, що річка Устя - притока Горині». Одержане висловлення по відношенню до даного називають запереченням висловлення „а” і позначають символом „ā”. Символічний запис ā можна прочитати так: „заперечення висловлення а”, „не-а”, „неправильно, що а”. Введемо математичне означення цього поняття.

Означення: запереченням даного висловлення „а” називають таке нове висловлення „ā”, яке істинне тоді, коли висловлення а хибне, і хибне тоді – коли висловлення а істинне.

Операцію заперечення можна задати за допомогою таблиці, яку в математичній логіці називають таблицею істинності (див. таблицю № 22). Таким чином, щоб отримати із даного висловлення його заперечення слід поставити перед висловленням слово „неправильно” чи поставити перед присудком частку „не”. Отже, операція заперечення досить адекватно передає зміст вживання частки „не” в практиці розмовної і писемної мови.

Таблиця № 22. Таблиця істинності заперечення висловлення.

А чи можна так само утворити заперечення предиката? – покажемо це на такому прикладі. Розглянемо предикат: А(х)=„х – просте число”, хÎN. Утворимо його заперечення: „неправильно, що х – просте число”. Наведемо означення цього поняття.

Означення: запереченням даного предиката А(х) називають такий новий предикат Ā(х), який визначений на тій самій множині Х і який істинний при всіх таких хÎХ, при яких предикат А(х) істинний, а хибний при всіх тих хєХ, при яких предикат А(х) істинний.

Досить важливим для математичної логіки є питання про визначення множини істинності предикатів. З’ясуємо це питання по відношенню до даного предиката А(х) і його заперечення Ā(х). Нехай Х – це область визначення предиката А(х). Позначимо через Т_А множину істинності предиката А(х), а через Т_{`А</sub> – множину істинності предиката Ā(х). Чим буде множина Т<sub>`А} по відношенню до множини Т_А? – доповненням множини Т_А до множини Х, тобто, знаючи множину істинності Т_А предиката А(х), можна легко знайти множину істинності Т_{`А</sub> заперечення даного предиката. Отже, справедлива наступна рівність: Т<sub>`А}=Ť_А. За допомогою діаграм Ейлера-Венна це можна зобразити так (див. таблицю № 23):

Таблиця № 23. Множина істинності Т_`А заперечення даного предиката Ā(х).

Операція заперечення висловлень та заперечення предикатів підкоряються закону подвійного заперечення (див. таблицю № 24). У справедливості першого із них легко переконатися, побудувавши таблицю істинності. Справедливість другого ілюструється на діаграмі Ейлера-Венна. Пропонуємо студентам переконатися в цьому самостійно, виконавши відповідні завдання для самостійної роботи.

Закон подвійного заперечення для висловлень.	Закон подвійного заперечення для предикатів.
ā=а.	Ā(х)=А(х).

Таблиця № 24. Закон подвійного заперечення.

4. Операція кон’юнкції над висловленнями та предикатами. Її таблиця істинності. Основні властивості (закони) операції кон’юнкції.

4.1. Операція кон'юнкції висловлень.

4.1. За допомогою яких слів в мові з одних простих речень можна утворювати складні? – не, і, або, якщо,… то, тоді і тільки тоді, необхідно і достатньо тощо. Як же в математичній логіці із простих висловлень буде утворювати складені? – за допомогою певних операцій (одну із яких, заперечення ми вже розглянули), які певним чином відповідатимуть названим словам або словосполученням. Розглянемо два висловлення: а=„число 2 - просте” і в=„число 2 – парне”. Утворимо з цих двох простих висловлень за допомогою сполучника „і” нове висловлення і з'ясуємо його істинність: „число 2 – просте і парне”. Воно істинне. У математичній логіці таке нове висловлення називають кон'юнкцією (грецьк. сonjunctio” - зв'язок, союз) даних висловлень і позначають так: аÙb. Символічний запис аÙb читають так: „а і b”, або „а в кон'юнкції з b”, або „кон'юнкція а і b”. Тепер сформулюємо строге математичне означення цієї операції над висловленнями.

Означення: кон'юнкцією двох висловлень а і b називають таке нове висловлення аÙb, яке істинне тоді і тільки тоді, коли істинні обидва висловлення а і b.

Інколи означення формулюють і так: «кон'юнкцією двох висловлень а і b називають таке нове висловлення аÙb, яке хибне тоді і тільки тоді, коли хибне хоча б одне із висловлень а і b». Легко довести, що обидва ці означення рівносильні. Крім цього, означення кон'юнкції двох висловлень можна задати за допомогою таблиці істинності (див. таблицю № 25).

Таблиця № 25. Таблиця істинності для операції кон’юнкції.

Яку операцію над числами нагадує нам означення кон’юнкції двох висловлень задане таблицею істинності? – операцію множення чисел. Саме тому операцію кон'юнкції називають логічним множенням. Означення операції кон'юнкції двох висловлень можна поширити на три, чотири та на будь-яке скінченне число висловлень. Наприклад: кон’юнкцією висловлень а, b, с називається таке нове висловлення, яке хибне тоді і тільки тоді, коли хибне хоча б одне з висловлень а, b і с, тобто аÙbÙс=(аÙb)Ùс. Враховуючи сказане, зазначимо, що всі твердження, які ми будемо доводити для двох висловлень щодо кон’юнкції, будуть, майже завжди, істинними для будь-якого скінченого числа висловлень.

Безпосередньо із означення кон’юнкції двох висловлень легко переконатися у справедливості таких властивостей (законів): 1) аÙ1=а; 2) аÙ0=0; 3) аÙа=а – закон ідемпотентності. Крім вказаних законів, операція кон’юнкції висловлень підкоряється комутативному (переставному) аÙв=вÙа та асоціативному (сполучному) законам (аÙв)Ùс=аÙ(вÙс), які потребують доведення. Ці закони доводять, використовуючи таблиці істинності. Покажемо це на прикладі асоціативного закону операції кон’юнкції (див. таблицю № 26). Для того, щоб визначити кількість стовпців, слід підрахувати кількість елементарних і складених висловлень у лівій та правій частинах формули. Отже, маємо три елементарних висловлення (а, в, с) та чотири складених висловлення (аÙв, (аÙв)Ùс, вÙс, аÙ(вÙс)), тобто всього буде сім стовпців. Кількість рядків обчислюється за формулою 2ⁿ+1, де n – це кількість елементарних висловлень. Оскільки у формулі n=3, то рядків буде 2³+1=9. Для заповнення трьох перших стовпців зазначимо, що в них слід записати всі можливі варіанти наборів значень істинності елементарних висловлень а, в, с. У другому рядку перших трьох стовпців записуємо нулі, в наступних трьох – по два нулі й одній одиниці. У 6-8 рядках перших трьох стовпців запишемо по одному нулю та по дві одиниці. І, нарешті, в останньому запишемо три одиниці. Інших варіантів наборів значень істинності немає. Для заповнення четвертого стовпця виконаємо кон’юнкцію першого і другого стовпців, а для заповнення п’ятого стовпця – кон’юнкцію третього і четвертого стовпців. Аналогічно заповнюємо шостий і сьомий стовпці.

Таблиця № 26. Доведення асоціативного закону операції кон’юнкції.

Таким чином, щоб переконатися у справедливості асоціативного закону операції кон’юнкції, слід порівняти значення, які містяться у стовпцях, що визначають ліву й праву частині рівності (аÙb)Ùс=аÙ(bÙс). Порівнюючи значення п’ятого і сьомого стовпців, бачимо, що вони приймають однакові значення при всіх наборах значень істинності елементарних висловлень, що входять до їх складу. Отже, права і ліва частина формули (аÙb)Ùс=аÙ(bÙс) набуває однакових значень істинності при всіх наборах значень істинності елементарних висловлень. Це означає, що закон справедливий. Доведення комутативного закону пропонуємо провести самостійно (див. завдання для самостійної роботи студентів).

4.2. Операція кон'юнкції предикатів.

4.2. Як відомо, для одержання висловлення із предиката необхідно замінити змінну (змінні) назвою конкретного предмета, тобто використати спосіб підстановки, або використати операцію навішуванням квантора. А чи можна над предикатами виконувати й інші операції? - так, бо їх можна перетворити у висловлення. Всі предикати також поділяються на прості або елементарні та на складені. Для того, щоб визначити операцію кон’юнкції предикатів, розглянемо на множині абітурієнтів предикати: А(х): „х – склав всі екзамени” і В(х): „х – набрав прохідний бал”. Як можна назвати предикат „х – склав всі екзамени і набрав прохідний бал” - кон'юнкцією заданих предикатів. Отже, приймемо таке означення.

Означення: кон'юнкцією двох предикатів А(х) і В(х), заданих на одній і тій самій множині Х, називається такий новий предикат А(х)ÙВ(х), який визначений на множині Х і який істинний при всіх тих хÎХ, при яких одночасно істинні обидва предикати.

При оперуванні із складенимипредикатами доводиться знаходити їх множини істинності. Знайдемо множину істинності предиката А(х)ÙВ(х). Позначимо область визначення предикатів через Х, множину істинності предиката А(х) через Т_А, а множину істинності предиката В(х) – через Т_В. Щоб знайти множину істинності предиката А(х)ÙВ(х), тобто Т_АÙ_В, на діаграмі Ейлера-Венна заштрихуємо множину істинності предиката А(х) горизонтальними штрихами, а множину істинності предиката В(х) – вертикальними штрихами. Тоді множина істинності предиката А(х)ÙВ(х) буде зображатися тією частиною множини Х, на якій штрихи накладаються (див. таблицю № 3).

Таблиця № 3. Множина істинності кон’юнкції предикатів Т_АÙВ = Т_АÇТ_В.

Таким чином, множина істинності предиката А(х)ÙВ(х) є перерізом множин істинності предикатів А(х) і В(х), тобто справедлива рівність Т_АÙ_В=Т_АÇТ_В. Операція кон’юнкції предикатів підкоряється тим же самим законам, що і операція кон’юнкції висловлень. Пропонуємо студентам записати відповідні закони самостійно.

5. Операція диз’юнкції над висловленнями та предикатами. Її таблиця істинності. Основні властивості (закони) операції диз’юнкції.

5.1. Операція диз’юнкції над висловленнями.

5.1. Розглянемо два висловлення: а=„число 2 просте” і в=„число 2 – парне”. Утворимо з цих двох простих висловлень за допомогою сполучника „або” нове висловлення і з'ясуємо його істинність: „число 2 – просте або парне”. Воно істинне. У математичній логіці таке нове висловлення називають диз'юнкцією (грецьк. disjunction - роз'єднання, розрізнення) даних висловлень і позначають так: аÚb. Символічний запис аÚb читають так: „а або b”, або „а в диз'юнкції з b”, або „диз'юнкція а і b”. Тепер сформулюємо строге математичне означення цієї операції над висловленнями.

Означення: диз'юнкцією двох висловлень а і b називають таке нове висловлення аÚb, яке хибне тоді і тільки тоді коли хибні обидва висловлення.

Крім наведеного означення операцію диз’юнкції можна задати з допомогою іншого означення чи таблиці істинності (див. таблицю № 4).

Таблиця № 4. Таблиця істинності для операції диз’юнкції.

Означення: диз'юнкцією двох висловлень а і b називають таке нове висловлення аÚb, яке істинне тоді і тільки тоді, коли істинне хоча б одне із висловлень а і b.

Яку операцію над числами нагадує нам означення диз’юнкції двох висловлень задане таблицею істинності? – певним чином операцію додавання чисел. Саме тому операцію диз'юнкції називають логічним додаванням. Означення операції диз'юнкції двох висловлень можна поширити на три, чотири та на будь-яке скінченне число висловлень. Наприклад: диз’юнкцією висловлень а, b, с називається таке нове висловлення, яке хибне тоді і тільки тоді, коли хибне кожне з висловлень а, b і с, тобто аÚbÚс=(аÚb)Ú с. Враховуючи сказане, зазначимо, що всі твердження, які ми будемо доводити для двох висловлень щодо диз’юнкції, будуть, майже завжди, істинними для будь-якого скінченого числа висловлень.

Безпосередньо із означення диз’юнкції двох висловлень легко переконатися у справедливості таких властивостей (законів): 1) аÚ1=1; 2) аÚ0=а; 3) аÚа=а – закон ідемпотентності. Крім вказаних законів, операція диз’юнкції висловлень підкоряється таким законам:

3. аÚв=вÚа –комутативний (переставний) закон.

4. (аÚв)Úс=аÚ(вÚс) – асоціативний (сполучний) закон.

5. аÙ(вÚс)=(аÙв)Ú(аÙс) – дистрибутивний (розподільний) закон операції кон’юнкції відносно диз’юнкції.

6. аÚ(вÙс)=(аÚв)Ù(аÚс) – дистрибутивний (розподільний) закон операції диз’юнкції відносно кон’юнкції (п’ятий та шостий закони пов’язують операції кон’юнкції та диз’юнкції).

7. аÙв=āÚв.

8. аÚв=āÙв - закони де Моргана, які пов’язують операції заперечення, кон’юнкції та диз’юнкції.

Закони 3-8 потребують доведення. Його проводять, використовуючи таблиці істинності. Покажемо це на прикладі останнього закону де Моргана (див. таблицю № 5). Кількість стовпців таблиці істинності дорівнює 7, а кількість рядків – 2²+1=5 (як це визначили?). Заповнення стовпців виконаємо аналогічно до того, як це робилося при побудові таблиці істинності у попередньому пункті.

а	В	Ā	в	аÚв	аÚв	āÙв