План уроку

1.Чому дорівнює сила тяжіння

2.Рух тіла, кинутого вертикально вгору

3.Рух тіла, кинутого вертикально до обрію

4. Рух тіла, кинутого під кутом до горизонту

5. Алгоритм розв’язування задач із динаміки

6. Приклади розв’язування задач

1.Чому дорівнює сила тяжіння

Силу, з якою Земля притягує будь-яке тіло, називають силою тяжіння.

Під час вільного падіння всі тіла біля поверхні Землі рухаються з однаковим прискоренням, що називають прискоренням вільного падіння . Це прискорення зумовлене дією на тіло сили тяжіння _T.

Для тіла, що вільно падає, сила тяжіння, що діє на тіло, пропорційна масі цього тіла.

= m

Розглядаючи Землю як однорідну кулю, розуміємо, що Земля притягує тіло масою яке знаходиться на її поверхні, із силою: де М₃ — маса Землі, R₃ — радіус Землі. Ця сила надає тілам прискорення вільного падіння, що дорівнює:

Прискорення вільного падіння визначається лише масою Землі та відстанню від центра Землі до тіла, тому прискорення вільного падіння є однаковим для всіх тіл незалежно від їхньої маси.

2.Рух тіла, кинутого вертикально вгору

Якщо на тіло діє лише сила тяжіння, то, відповідно до другого закону Ньютона, т = m , або m = m . Це означає, що під дією сили тяжіння тіло рухається рівноприскорено з прискоренням g (а = g). При цьому рівняння залежності швидкості від часу має вигляд: = ₀ + t.

Це рівняння показує, що швидкість руху тіла перебуває у площині, утвореній векторами ₀ і , тому для опису таких рухів достатньо двовимірної системи координат.

Розглянемо рух тіла по вертикалі: тіло кинули вертикально вгору (рис. а), і тіло падає вертикально вниз (рис. б).

У цьому випадку траєкторією руху тіла буде відрізок прямої, оскільки руху вздовж осі Ох не відбувається ( _0х = 0, х = х₀).

Оскільки під час руху вгору то рівняння руху матимуть такий вигляд:

Аналогічно, під час руху тіла, кинутого вниз , рівняння матимуть вигляд:

3.Рух тіла, кинутого вертикально до обрію

Розмістимо початок координат у крапці, з якої кинуто тіло (див. рис).

Хоча рух тіла буде криволінійним, однак залежність швидкості тіла від часу, як і раніше, описується формулою: = ₀ + t. Тіло, що рухається, ніби бере участь одночасно у двох уже знайомих нам рухах:

а) по горизонталі — рівномірний прямолінійний рух:

б) по вертикалі — прискорений рух (без початкової швидкості):

Підставивши в останню формулу вираз для часу руху дістаємо:

Отже, тіло, кинуте горизонтально, рухається по параболі, вершина якої знаходиться в початковій точці руху.

А час польоту і дальність польоту можна обчислити за формулами:

Швидкість тіла в будь-якій точці траєкторії можна обчислити за формулою:

Ця швидкість буде спрямована по дотичній до траєкторії, а напрям вектора швидкості визначається кутом, який він утворює з горизонтальною віссю:

4. Рух тіла, кинутого під кутом до горизонту

Нехай тіло кинули зі швидкістю ₀ під кутом α до горизонту. З’єднаємо початок координат з початковим положенням тіла, спрямуємо вісь Оу вертикально вгору, а вісь Ох — горизонтально (див. рис). У обраній системі координат:

Оскільки й у цьому випадку = ₀ + t, дістаємо:

Коли тіло перебуває на максимальній висоті, його швидкість спрямована горизонтально, тобто проекція швидкості на вісь Оу дорівнює нулю ( _y = О). Оскільки _y = _0y — gt, для часу підйому тіла на максимальну висоту отримуємо:

Знаючи час підйому тіла, можна розрахувати висоту, на яку воно підніметься: для цього достатньо підставити у формулу

Час польоту тіла складається з часу підйому й часу наступного падіння, а оскільки час підйому дорівнює часу падіння, то час польоту вдвічі більший за час підйому:

Оскільки x = _0xt_пoл, можна обчислити дальність польоту тіла, кинутого під кутом до горизонту:

Скориставшись перетворенням 2sinαcosα = sin2α, дістаємо:

З цього виразу випливає, що з таким значенням початкової швидкості ₀, максимальна дальність польоту досягається за максимального значення sin2α. Найбільше значення синуса дорівнює 1 (якщо кут — 90°). Отже, 2α = 90°, звідки α= 45°. Отже, максимальна дальність польоту досягається, якщо кут α = 45° і дорівнює:

5. Алгоритм розв’язування задач із динаміки

Якщо в задачі потрібно розглянути рух тіла під дією кількох сил, рекомендується діяти в такому порядку.

1. Запишіть коротко умову задачі й подайте всі числові дані в СІ.

2. Зробіть креслення, показавши на ньому всі сили, що діють на тіло, і напрям прискорення. Щодо кожної сили, яка діє на дане тіло, визначте:

а) з боку якого тіла діє ця сила;

б) якою є фізична природа цієї сили (тяжіння, пружність чи тертя).

3. Запишіть другий закон Ньютона у векторному вигляді.

4. Запишіть додаткові рівняння (наприклад, формули для сил або рівняння кінематики).

5. Виберіть зручну систему координат і запишіть рівняння другого закону Ньютона в проекціях на осі координат.

6. Розв’яжіть одержану систему рівнянь у загальному вигляді.

7. Проаналізуйте одержаний результат (перевірте одиниці виміру, розгляньте часткові або граничні випадки).

8. Знайдіть числові значення шуканих величин. Оцініть правдоподібність одержаних результатів.

9. Запишіть відповідь у загальному вигляді (у вигляді формули), а також числові значення шуканих величин із зазначенням їх одиниць виміру.

10. Якщо розглядається рух системи тіл, пункти 3 і 5 необхідно виконати для кожного з тіл, а в пункті 4 слід урахувати кінематичні зв’язки.

6. Приклади розв’язування задач

Задача 1. По гладкому столу за допомогою горизонтального шнура тягнуть брусок, прикладаючи до шнура силу F. Маса бруска M, маса шнура m. Знайдіть силу T, з якою шнур діє на брусок. Доведіть, що якщо масою шнура можна знехтувати, то ця сила дорівнює F.

Розв’язання

1. На рис. 1 показано сили, що діють на брусок і шнур. Запишемо для кожного з цих тіл другий закон Ньютона у векторному вигляді:

2. Запишемо другий закон Ньютона в проекції на вісь Ox:

Ma = T₁, ma = F - T₂.

3. Згідно з третім законом Ньютона:T₁ – T₂ = Т.

4. Підставивши T₁ = T₂ - T в систему рівнянь (див. пункт 2), знаходимо:

5. Перевіряємо й аналізуємо одержану відповідь.

Якщо m << M, дійсно одержуємо T = F.

Відповідь:

Задача 2. Тіло сповзає рівномірно по похилій площині з кутом нахилу 40°. Визначити коефіцієнт тертя ковзання між тілом і площиною.

Аналіз та розв’язання

Під час сповзання тіла з похилої площини на нього діють сила тяжіння сила реакції площини і сила тертя . Прискорення при рівномірному сповзанні дорівнює нулю. Отже, рівняння руху для тіла: За напрям осі Ox візьмемо напрям руху тіла. Тоді матимемо таке рівняння відносно цієї осі:

Враховуючи, що запишемо рівняння (1) у вигляді:

звідси:

Задача 3. До нитки, перекинутої через нерухомий блок, підвішано тягарі масами m1 = 300г, m₂ = 600 г. З якими прискореннями рухаються тягарі? Якою є сила натягу нитки? У скільки разів вага другого тягаря відрізняється від ваги першого?

Розв’язання

Покажемо всі сили, що діють на тягарі.

Запишемо рівняння другого закону Ньютона для кожного з тягарів у проекції на вісь у:

Відповідь: 3,3 м/с2; 3,9 Н; обидва тягарі мають однакову вагу.

Домашнє завдання:

1. Оцініть масу Сонця, вважаючи відстань R від Землі до Сонця рівним 1,5 *10⁸ км.

2. Супутник рухається по коловій орбіті на висоті H від поверхні Землі. Виразіть швидкість супутника _v і період його оберту Т через h, радіус Землі R і прискорення сили тяжіння на поверхні Землі g.

3. Визначте швидкість руху Місяця відносно Землі і період її обертання навколо Землі. Вважайте, що Місяць рухається по круговій орбіті радіуса 384 000 км.

4. Чи справедливі закони Паскаля і Архімеда в стані невагомості?

5. Супутник обертається по коловій орбіті на невеликій висоті над планетою. Період його обігу дорівнює Т. Чи достатньо цих даних, щоб визначити середню щільність планети ρ?

Тема уроку: Третій закон Ньютона. Межі застосування законів Ньютона