Коливний рух точки

 

1. Основні характеристики вільних (гармонічних) коливань.

2.Вільні затухаючі коливання.

3.Збурені коливання матеріальної точки без урахування опору середовища.

 

Література

 

1. В.В. Цасюк Теоретична механіка. –Львів: Афіша, 2003.

2. Е.М. Нікітін Теоретична механіка. – М: Наука, 1983.

1. Основні характеристики вільних (гармонічних) коливань.

 

Механічні рухи, які періодично повторюються, називаються механічними коливаннями. На матеріальну точку можуть діяти оновлююча сила, яка намагається повернути точку в положення рівноваги, сила опору руху, яка залежить від швидкості точки, і збурююча сила, задана функцією часу.

Залежно від комбінації цих сил розглянемо три види коливального руху матеріальної точки :

· вільні коливання під дією тільки лінійної поновлюючої сили;

· згасаючі коливання під дією поновлюючої сили й сили опору;

· вимушені коливання під дією поновлюючої сили і збурюючої сили;

Вільними коливаннями матеріальної точки називають її коливання під дією сил, зумовлених початковими умовами: відхилення точки від положення рівноваги або надання їй початкових швидкостей.

Рис. 1 Розглянемо прямолінійний рух матеріальної точки М масою m під дією тільки сили , спрямованої до нерухомого центра О і пропорційної відстані точки М від центра О: (лінійна залежність) (рис. 1).

Сила намагається повернути точку М у положення рівноваги О, де , тому сила називається поновлюючою силою. Прикладом такої сили є сила пружності пружини.

Визначимо закон руху точки М, тобто закон зміни координати х за часом.

Запишемо диференційне рівняння руху точки за часом у проекції на вісь х:

; , або , ; ,

де , колова (власна) частота коливань матеріальної точки масою m, вимірюється в рад/с;

с – коефіцієнт жорсткості (пружності) пружини, що чисельно дорівнює силі, яку необхідно докласти до пружини, щоб змінити її довжину на одиницю (вимірюється в н/м).

Закон коливань точки М має вигляд (рішення диференційного рівняння коливань):

, ,

де А і В – постійні інтегрування, що визначаються з початкових умов.

Початкові умови: при t=0; x=x ; .

Враховуючі початкові умови, маємо: ; .

Остаточно закон коливань точки М має вигляд

.

Якщо замість постійних інтегрування А і В, ввести постійні a і так, щоб , , отримаємо закон коливань у вигляді ,

де і також визначаються з початкових умов.

При t=0

, .

Тоді ‑ амплітуда коливань, що дорівнює найбільшому відхиленню точки М від центра D і залежить від початкових умов,

,

‑ початкова фаза коливань, яка також залежить від початкових умов.

Розглянутий прямолінійний рух матеріальної точки М масою m під дією сили , величина якої пропорційна відхиленню точки від положення статичної рівноваги, є гармонійний коливальний рух з власною коловою частотою періоди .

Період коливань Т – проміжок часу між двома послідовними проходженнями точки через положення статичної рівноваги в певному фіксованому напрямку.

Колова частота власних коливань К і їх період Т не залежать від початкових умов і амплітуди коливань а. Коли одночасно початкові умови дорівнюють нулю , то х=0, тобто вільні(власні) коливання не виникають.

Графік вільних коливань наведений на рис. 2. На цьому графіку відмічені початкове відхилення х0 амплітуди коливань а та період Т.

Рис. 2. Рух, який має такі властивості називається таутохронним, а оскільки період не залежить від амплітуди, він також є ізохронним.  

 

 

2. Вільні затухаючі коливання.

 

 

Рис. 3. Матеріальна точка М (вантаж масою m) рухається під дією сили тяжіння у в’язкому середовищі (рідина або газ), при русі в якій виникає сила опору, пропорційна першому ступеню швидкості. Таку силу опору називають силою в’язкого тертя: (знак “-“ показує, що сила спрямована протилежно ). Таким чином, на точку М при русі діють поновлююча сила і сила опору (рис 3).

Диференційне рівняння руху точки (вантажу) має вигляд

,

або ,

або ,

або ,

де ‑ частота власних коливань (колова);

‑ відносний коефіцієнт демпфірування, що має розмірність колової частоти k коливань ([n] = рад/c).

Закон коливання вантажу (рішення диференційного рівняння) залежить від співвідношення параметрів k і n.

1. Закон коливання вантажу у випадку малого опору n < k має вигляд

,

або ,

де постійні інтегрування визначаються, як і раніше, з початкових умов,

‑ частота згасаючих коливань,

‑ максимальне відхилення точки від положення рівноваги,

‑ початкова фаза.

Коливання, які відбуваються за цим законом, називаються згасаючими, тому що величина за перебігом часу, завдяки множнику ,зменшується, прямуючи до нуля (рис. 4).

Рис. 4.

 

Періодом згасаючих коливань Т1 називають проміжок часу між двома послідовними проходженнями точки через положення статичної рівноваги в певному фіксованому напрямку:

.

Звідси видно, що період згасаючих коливань більший за період власних коливань Т1>T. Опір середовища, що пропорційний швидкості в першому ступені, збільшує період коливань.

Співвідношення називають декрементом загасання, або фактором загасання.

Амплітуда згасаючих коливань спадає за геометричною прогресією.

2. При рішення диференційного рівняння руху: .

Рис. 5. Рух точки буде аперіодичним згасаючим, не буде коливальним і за перебігом часу буде спрямовуватися до нуля ( при ). Рух точки залежить від початкових умов (рис. 5). 3. При n > k, коли опір великий порівняно з поновлюючою силою, рішення диференційного рівняння руху має вигляд: , де .

 

Рух точки в цьому випадку також не є коливальним і вона під дією наповнюючої сили поступово (асимптотично) буде спрямовуватися до стану рівноваги х=0. Рух точки також залежить від початкових умов і є аперіодичним (рис 6).

Рис. 6.

 

Збурені коливання матеріальної точки без урахування опору середовища.

Змушені коливання відбуваються за умови, що на матеріальну точку, крім поновлюючої сили , діє збурююча сила , яка змінюється за гармонічним законом, тобто де Н – максимальне значення збурюючої сили, р ‑ колова частота збурюючої сили (рис. 7).

Диференційне рівняння руху матеріальної точки М (вантажу) має вигляд

Рис. 7 , або в проекції на вісь х: , або після ділення на m: , де Загальний розв¢язок неоднорідного диференційного рівняння складається з двох розв¢язків (рис. 8): де ‑ загальний розв¢язок однорідного рівняння, ‑ частинний розв¢язок неоднорідного рівняння.

Рис. 8.

При визначенні частинного розв¢язку розглянемо 3 випадки:

.

1. Частота вільних коливань не дорівнює частоті збурюючої сили .

У цьому випадку .

Тоді закон коливання вантажу

або

де ‑ постійні інтегрування, що визначаються з початкових умов.

Закон коливання свідчить, що коливання складаються в цьому випадку з коливання з амплітудою а (залежною від початкових умов) і власною частотою k, і коливання з амплітудою (не залежною від початкових умов) і частотою р, які називаються змушеними коливаннями .

При цьому на відміну від вільних коливань, що описуються однорідними диференційними рівняннями, вільні коливання за наявності збурюючої періодичної сили збуджуються також за нульових початкових умов

Рис. 9.

При амплітуда змушених коливань необмежено зростає.

При (або ) амплітуда дорівнює статичному відхиленню точки під дією сили H (максимальне значення збурюючої сили) (рис. 9).

При амплітуда .

Змушені коливання, частота яких частоти k вільних коливань, називаються змушеними коливаннями малої частоти ( ) і .

Фаза коливань pt співпадає з фазою збурюючої сили .

Змушені коливання, частота яких частоти к вільних коливань, називаються змушеними коливаннями великої частоти і

.

У цьому випадку амплітуда вимушених коливань дорівнює , а фаза відрізняється від фази збурюючої сили pt на , тобто фази змушених коливань і збурюючої сили протилежні.

2. Розглянемо випадок, коли частота вільних коливань приблизно дорівнює частоті збурюючої сили , якщо при , тобто початкові умови нульові (Рис 10).

У цьому випадку .

Рис. 10

 

Коливальний рух відбувається з частотою збурюючої сили, амплітуда якої повільно змінюється з частотою, що відповідає половині різниці частот р і к. Такий рух називається биттям.

 

В результаті вивчення теми слухачі повинні

Знати :

- основні характеристики вільних (гармонічних) коливань: амплітуда, частота, період, фаза;

- вільні затухаючі коливання;

- збурені коливання матеріальної точки без урахування опору середовища;

Вміти:

- розв’язувати задачі про коливний рух.

 

Питання для самоперевірки

 

1. Який механічний рух матеріальної точки називають коливальним?

2. Пі д дією якої сили здійснюються вільні гармонічні коливання матеріальної точки?

3. Які сили, діючі на матеріальну точку, викликають вільні, згасаючі або змушені коливання?

4. Який вид має диференціальне рівняння вільних гармонічних коливань і який його загальний розв’язок?

5. В якому положенні на осі Ох найбільш доцільно розміщувати початок відліку?

6. Що називається амплітудою, періодом, і частотою вільних коливань матеріальної точки і від чого вони залежать?

7. Від яких величин залежить частота і період вільних коливань матеріальної точки?

8. Який вид має графік вільних коливань матеріальної точки?

9. Який вид має диференціальне рівняння руху затухаючих вільних коливань матеріальної точки?

10. Який вид має графік затухаючих коливань матеріальної точки?

11. Який вид має диференціальне рівняння збурених коливань матеріальної точки без урахування опору середовища?

 

Висновок по темі:Різні по своєму фізичному змісту коливальні явища, підпорядковуються одним і тим же законам, досліджуються за допомогою диференціальних рівнянь її руху і, отже являється прикладом застосування цих рівнянь.

 

Орієнтовний перелік питань підготовки до заліку з Технічної механіки.

 

1. Що таке механічний рух? Що вивчає статика?

2. Що вивчає теоретична механіка? Задачі статики.

3. В чому полягає суть понять матеріальна точка та абсолютно тверде тіло?

4. Що таке сила? Які три характеристики має сила?

5. Що таке система сил?

6. Що таке еквівалентна система сил?

7. Яка сила є рівнодійною системи сил?

8. Як формулюються аксіоми статики?

9. В якому випадку матеріальне тіло буде вільним?

10. Як зображується рівнодійна двох сил, які прикладені до тіла в одній точці?

11. Сформулюйте теорему про три непаралельні сили.

12. Яку систему сил називають системою збіжних сил?

13. Як визначаються проекції сили на вісь і площину?

14. Який напрям має сила, якщо її проекція на вісь дорівнює нулю?

15. Як визначити силу за її проекціями?

16. Чому дорівнює проекція рівнодійної сили на вісь через її складові?

17. Як знайти аналітично рівнодійну силу?

18. Що таке момент сили відносно центра (точки)?

19. Куди спрямований вектор моменту сили відносно точки?

20. Що таке пара сил, або просто пара?

21. Як визначити момент пари? Куди спрямований момент пари як вектор?

22. Що називають центром паралельних сил?

23. За якими формулами визначаються координати центра паралельних сил?

24. За якими формулами визначаються положення центра ваги тіла, об'єму і площі?

25. Що таке центр ваги тіла?

26. Які існують способи визначення координат центра ваги тіла?

27. Як визначити координати центра ваги дуги кола?

28. Як визначити координати центра ваги трикутника?

29. Як визначити координати центра ваги сектора?

30. Що вивчає кінематика?

31. Сформулюйте основну задачу кінематики.

32. Що називають системою відліку?

33. Що називають траєкторією точки?

34. Який рух називають рівномірним? нерівномірним?

35. Що означає задати рух кінематично?

36. Які способи задавання руху вам відомі?

37. Що необхідно визначити, щоб задати рух точки природнім способом?

38. Запишіть рівняння руху точки в декартових прямокутних координатах.

39. Що називають середньою швидкістю точки?

40. Що називають миттєвою швидкістю точки?

41. Що називається абсолютно твердим тілом?

42. Назвіть основні види руху твердого тіла.

43. Який рух твердого тіла називають поступальним і які він має властивості?

44. Чи можуть точки тіла при поступальному русі описувати довільні траєкторії?

45. Який рух твердого тіла називають обертальним навколо нерухомої осі?

46. Сформулюйте теорему про поступальний рух.

47. Що називають кутом повороту?

48. Що називають середньою кутовою швидкістю? миттєвою кутовою швидкістю?

49. За якими формулами визначають модуль кутової швидкості?

50. Як напрямлений вектор кутової швидкості?

51. Що називають середнім кутовим прискоренням? миттєвим кутовим прискоренням?

52. За якими формулами визначають модуль кутового прискорення?

53. Як напрямлений вектор кутового прискорення?

54. Який рух називається плоским?

55. Напишіть кінематичні рівняння плоского руху .

56. Чи залежить кутова швидкість плоскої фігури від вибору полюса?

57. Яка існує залежність між швидкістю довільної точки плоскої фігури і швидкістю полюса?

58. В чому полягає теорема про проекції швидкостей двох точок плоскої фігури на лінію, що їх з’єднує?

59. Що називається миттєвим центром швидкостей?

60. В чому полягає теорема про існування миттєвого центру швидкостей?

61. Як визначається положення миттєвого центру швидкостей в різних випадках?

62. Що називається миттєво поступальним рухом?

63. Що необхідно знати для побудови плану швидкостей?

64. Яка існує залежність між прискоренням точки плоскої фігури і прискоренням полюса?

65. Сформулюйте закони ньютона.

66. Яка система відліку називається інерційною?

67. Яке рівняння називається основним рівнянням динаміки?

68. Що ми розуміємо під матеріальною точкою?

69. Мірою якої властивості матерії являється маса?

70. Які рухи матеріальної точки називаються рухом по інерції?

71. Які рівняння називаються диференціальними рівняннями руху вільної матеріальної точки?

72. Які рівняння називаються натуральними рівняннями руху вільної матеріальної точки?

73. Сформулюйте дві основні задачі динаміки матеріальної точки.

74. Який механічний рух матеріальної точки називають коливальним?

75. Пі д дією якої сили здійснюються вільні гармонічні коливання матеріальної точки?

76. Які сили, діючі на матеріальну точку, викликають вільні, згасаючі або змушені коливання?

77. Який вид має диференціальне рівняння вільних гармонічних коливань і який його загальний розв’язок?

78. В якому положенні на осі Ох найбільш доцільно розміщувати початок відліку?

79. Що називається амплітудою, періодом, і частотою вільних коливань матеріальної точки і від чого вони залежать?

80. Від яких величин залежить частота і період вільних коливань матеріальної точки?

81. Який вид має графік вільних коливань матеріальної точки?

82. Який вид має диференціальне рівняння руху затухаючих вільних коливань матеріальної точки?

83. Який вид має графік затухаючих коливань матеріальної точки?

84. Який вид має диференціальне рівняння збурених коливань матеріальної точки без урахування опору середовища?

 


 

ЛІТЕРАТУРА

 

Основна:

1. В.В. Цасюк Теоретична механіка. –Львів: Афіша, 2003.

2. Е.М. Нікітін Теоретична механіка. – М: Наука, 1983.

3. Гуліда Е.М.., Дзюба Л.Ф., Ольховський І.М. Прикладна механіка. Львів, 2007.

 

Додаткова:

1.Мещерский И.В.Сборник задачпо теоретической механике. Издательство „Наука”, Москва, 1972.

2.Никитин Е.М. Теоретическая механика для техникумов. Издательство „Наука”, Москва, 1983.

3.Ицкович Г.М. Сопротивление материалов. Издательство „Высшая школа”, Москва, 1986.