Прискорення руху. 1 страница

Для визначення прискорення руху матеріальної точки при координатному способі задання руху поводимося аналогічно, як і в випадку визначення швидкості руху. А саме: значення радіус-вектора (2.2) підставимо у вираз (2.7), визначимо другу похідну і знайдемо прискорення

. (2.16)

З іншого боку, вектор прискорення можна у прийнятій системі координат Oxyz под

ати у вигляді його проекцій на осі координат. А саме:

. (2.17)

Якщо порівняти (2.16) і (2.17), то можна написати такі співвідношення:

. (2.18)

Таким чином, проекції вектора прискорення матеріальної точки на осі координат дорівнюють другим похідним по часу від відповідних координат.

Якщо відомі проекції вектора прискорення на осі координат, то є можливість скласти їх геометрично і отримати модуль самого вектора. Матимемо:

. (2.19)

Напрямок вектора також визначається через напрямні косинуси:

(2.20)

Таким чином, при координатному способі задання руху матеріальної точки, якщо цей рух здійснюється у просторі, її швидкість і прискорення визначаються відповідно за допомогою виразів (2.13), (2.14), (2.15), (2.18), (2.19) і (2.20). Якщо рух здійснюється у площині, то у всіх цих формулах відкидається одна координата, а якщо прямолінійно, то відкидаються дві координати.

В результаті вивчення теми слухачі повинні

Знати :

- основні поняттями та визначення в кінематиці;

- способи опису руху точки: векторний, координатний, натуральний;

- кінематичні характеристики руху точки: швидкість і прискорення.

Вміти:

- Визначати траєкторії руху точки.

Питання для самоперевірки

1. Що вивчає кінематика?

2. Сформулюйте основну задачу кінематики.

3. Що називають системою відліку?

4. Що називають траєкторією точки?

5. Який рух називають рівномірним? нерівномірним?

6. Що означає задати рух кінематично?

7. Які способи задавання руху вам відомі?

8. Що необхідно визначити, щоб задати рух точки природнім способом?

9. Запишіть рівняння руху точки в декартових прямокутних координатах.

10. Що називають середньою швидкістю точки?

11. Що називають миттєвою швидкістю точки?

Висновок по темі:При розв'язанні задач на складання рівнянь руху точки, необ­хідно виразити координати точки, що рухається відносно вибраної системи координат через час. При цьому положення точки необхідно показати в поточний момент часу.

Якщо рівняння руху точки відомі, то для одержання кривої, по якій рухається точка, необхідно з рівнянь її руху виключити час.

2.2 Кінематика твердого тіла

В даній темі при її вивченні необхідно звернути увагу на завдання руху твердого тіла.

Розглянути найпростіші види руху твердого тіла: поступальний і обертальний.

Ознайомитись із обертальний рухом твердого тіла навколо нерухомої осі.

Вивчити кінематичні характеристики швидкість і прискорення точок тіла що обертаються навколо нерухомої осі.

Розглянути приклад розв’язання задач з визначення кінематичних характеристик обертального руху.

Завдання:

Махове колесо радіуса R=2мобертається рівно прискорено із стану спокою; через t₁ = 10с точки, що лежать на ободі колеса, мають ліній­ну швидкість V₁ = 100 м/с. Знайти кутову швидкість і кутове прискорення маховика, лінійну швидкість, доосьове і обертальне прискорення точок ободу для моменту t₂= 15с.

Розв'язання.

Виберемо додатній напрям осі обертання маховика таким чином, щоб

ω_z = ω. В ньому випадку ε_z = ε , так як маховик обертається рівнопри­скорено.

1. Визначення кутової швидкості і кутового прискорення маховика.

Кутова швидкість маховика ω = εt, так як ω₀= 0 (маховик по­чинає обертатись з стану спокою). Звідси знаходимо:

ε = ω /t = ω₁ /t₁ (а)

при t = t ₁ кутова швидкість маховика

ω₁ = ν₁/R (б)

Підставивши (б) в ( а ), одержимо:

ε = ν₁/Rt₁ = 5с²

Кутова швидкість маховика при t₂= 15с

ω = ε٠ t₂ = 5 ٠ 15 = 75 с.

2. Визначення швидкості, до осьового і обертального прискорень точок.

Швидкість, доосьове і обертальне прискорення точок ободу маховика визначаються за формулами:

ν = ωR = εRt , w^ос = ω² R = ε² Rt² , w^об = εR (с)

Підставивши t₂= 15св (с), одержимо:

ν = 150 м/с w^ос = 11250 м/с², w^об = 10 м/с².

При розгляді даної теми необхідно використовувати посібник: В.В. Цасюк Теоретична механіка. –Львів: Афіша, 2003. Стор 110 – 124.

Теоретичні відомості

Кінематика твердого тіла.

1. Завдання руху твердого тіла.

2.Найпростіші рухи твердого тіла.

3.Обертальний рух твердого тіла навколо нерухомої осі.

Література

1. В.В. Цасюк Теоретична механіка. –Львів: Афіша, 2003.

2. Е.М. Нікітін Теоретична механіка. – М: Наука, 1983.

1. Завдання руху твердого тіла.

Система матеріальних точок називається незмінною, якщо відстані між будь-якими двома точками системи зберігаються постійни­ми. Якщо незмінна система повністю заповнює деякий об’єкт, то таку механічну систему матеріальних точок називають абсолютно твердим тілом. Для скорочення в подальшому будемо її називати просто прос­тим тілом.

В кінематиці твердого тіла розв’язуються ті ж задачі, що і в кінематиці точки. Мова буде йти про завдання руху твердого тіла, про визначення швидкостей і прискорень його точок.

Будемо говорити, що рух твердого тіла задано, якщо існує спосіб визначення положення будь-якої його точки в будь-який мо­мент часу.

Для завдання руху твердого тіла достатньо задати рух трьох
його точок (А,В,С), що не лежать на одній прямій (рис. 9.1).

Дійсно, положення будь-якої точки D можна визначити по відстанях до цієї точки, які зостаються незмінними, до трьох заданих точок.

Положення точок А,В,С визначається дев’ятьма координатами

Х_А(t), У_А (t), Z_А (t), Х_В (t), У_В (t), Z_В (t), Х_С (t), У_С (t), Z_С (t).

Ці дев’ять координат зв’язані між собою трьома рівняннями

(Х_В - Х_А)²+ (У_В - У_А)² + (Z_В - Z_А)² = АВ²

(Х_С - Х_В)² + (У_С - У_В)² + (Z_С - Z_В)² = ВС² 9.1

(Х_С - Х_А)² + (У_С - У_А)²+ (Z_С - Z_А)² = АС²

Таким чином, тільки шість координат з дев’яти можуть бути задані незалежними. Останні три визнаються за рівняннями (9.1) через ці шість.

Замітимо, що завдання шести декартових координат не явля­ється найкращим способом завдання руху твердого тіла. Як буде вияс­нено в подальшому, існують інші зручні величини, що визначають положення тіла в просторі.

Число незалежних величин, за якими можна одночасно еста новішій у вибраній системі координат положення твердого тіла ч будь-який момент часу називається числом степенів вільності.

Якщо тверде тіло буде закріплено в якій-небудь точці, то його положення буде визначатися вже тільки трьома незалежними величинами.

В кожному окремому випадку будемо намагатись вибрати незалежні величини, що задають рух твердого тіла, виходячи з міркувань простоти і зручності розв'язування задач кінематики.

2. Найпростіші рухи твердого тіла.

Поступальним називають такий рух твердого тіла, при якому будь-яка пряма, що проведена в цьому тілі, переміщується паралельно сама собі.

Поступальний рух не слід підміняти прямолінійним. При поступальному русі тіла траєкторії його точок можуть бути будь-якими кривими лініями.

Властивості поступального руху визначаються наступною теоремою: при поступальному русі всі точки тіла описують однакові (такі, що співпадають при накладанні) траєкторії і мають в кожний момент часу однакові за модулем і напрямком швидкості та прискорення.

Розглянемо тверде тіло, яке здійснює поступальний рух відносно системи відліку Oxyz. Візьмемо в тілі дві довільні точки А і В, положення яких в момент часу t визначається радіус-векторами і . Проведемо вектор , який з’єднує ці точки. Отримаємо:

(4,1.1)

До того ж довжина АВ стала, а напрям залишається незмінним, оскільки тіло рухається поступально. Таким чином, вектор протягом всього руху залишається сталим. Внаслідок цього траєкторію точки В отримують з траєкторії точки А паралельним переміщенням всіх її точок на сталий вектор . Таким чином траєкторії точок А і В будуть дійсно однакові криві.

Щоб знайти швидкості необхідно взяти диференціал від обох частин рівності (4.1.1) по часу. Отримаємо:

.

Але похідна від сталого вектора дорівнює нулю. Похідні від векторів і по часу дають швидкості точок А і В. Таким чином

,

тобто швидкості точок А і В у будь-який момент часу однакові і за модулем і за напрямком. Ще одна похідна по часу дасть нам

або ,

тобто прискорення точок А і В у будь-який момент часу однакові і за модулем і за напрямком. Оскільки точки були вибрані довільно, то висновки можна поширити на всі точки тіла. Теорема доведена.

З доведеної теореми випливає, що поступальний рух твердого тіла повністю визначається рухом однієї його точки. Таким чином, задача вивчення поступального руху тіла зводиться до розглянутої раніше задачі кінематики точки.

Швидкість і прискорення, загальні для точок тіла, що рухається поступально, називаються швидкістю і прискоренням цього тіла.

3. Обертальний рух твердого тіла навколо нерухомої осі.

Обертальним рухом називається такий рух твердого тіла, при якому будь-які дві його точки (чи незмінно з ним пов’язані), залишаються нерухомими протягом всього руху. Пряма, що проходить через ці точки називається віссю обертання.

При обертальному русі тіла різні його точки рухаються по різному. Однак і для обертального руху можна знайти такі кінематичні характеристики, які були б загальними для всіх точок тіла

Нехай будь-яке тверде тіло обертається навколо нерухомої осі z. Проведемо через вісь обертання z нерухому площину Р і площину Q, яка незмінно пов’язана з тілом, що обертається.

Кут j між нерухомою площиною, яка проходить через вісь обертання, і площиною, яка незмінно пов’язана з тілом, що обертається і також проходить через вісь обертання, називається кутом повороту або кутовим переміщенням даного тіла.

Кут j будемо вважати додатнім, якщо він відкладається від нерухомої площини проти годинникової стрілки. Вимірюється кут j завжди у радіанах.

При обертанні тіла навколо осі z кут повороту змінюється протягом часу, значить він є функцією часу

.

(4.2.1)

Рівняння (4.2.1), яке встановлює залежність між кутом повороту тіла і часом його руху, називається рівнянням (законом) обертального руху тіла.

Основними кінематичними характеристиками обертального руху твердого тіла є його кутова швидкість w і кутове прискорення e.

Якщо за проміжок часу Dt тіло здійснює поворот на кут Dj, то відношення приросту Dj кута повороту тіла за деякий проміжок часу Dt до величини цього проміжку називається середньою кутовою швидкістю тіла за цей проміжок часу:

.

(4.2.2)

Кутовою швидкістю тіла в даний проміжок часу називається границя, до якої прямує середня кутова швидкість, якщо даний проміжок часу прямує до нуля:

або .

(4.2.3)

Таким чином, кутова швидкість тіла в даний момент часу чисельно дорівнює першій похідній від кута повороту по часу.

Кутову швидкість тіла зображають у вигляді вектора , який напрямлений вздовж вісі обертання тіла в той бік, звідки обертання буде видно проти годинникової стрілки.

Кутове прискорення характеризує зміну кутової швидкості тіла з часом.

Якщо за проміжок часу Dt кутова швидкість змінюється на величину Dw, то відношення приросту кутової швидкості тіла Dw за деякий проміжок часу Dt до цього проміжку називається середнім кутовим прискоренням:

.

(4.2.4)

Кутовим прискоренням тіла в даний момент часу t називається величина, до якої прямує значення e_ср, якщо проміжок часу Dt прямує до нуля:

.

(4.2.5)

Отже, кутове прискорення тіла в даний момент часу чисельно дорівнює першій похідній від кутової швидкості або другій похідній від кута повороту по часу.

Кутове прискорення тіла також можна зобразити у вигляді вектора, який напрямлений вздовж вісі обертання. Напрям вектора співпадає з напрямом вектора , якщо тіло обертається прискорено і протилежно при уповільненому обертанні.

При обертання тіла навколо нерухомої осі всі його точки описують кола, які лежать у площинах, перпендикулярних до осі обертання z. Центри цих кіл лежать на осі обертання, а радіус кожного з них дорівнює відстані відповідної точки тіла до осі обертання.

Нехай точка М знаходиться на відстані r від осі обертання z. Якщо за час dt відбувається елементарний поворот тіла на кут dj, то точка М здійснить елементарне переміщення . Тоді швидкість точки буде дорівнює відношенню

або .

(4.3.1)

Швидкість u називають лінійною швидкістю точки М. Чисельне значення швидкості твердого тіла, що обертається, дорівнює добутку кутової швидкості на відстань цієї точки від осі обертання.

Вектор швидкості напрямлений по дотичній до траєкторії точки в бік руху точки. Оскільки для всіх точок тіла w має в даний момент часу одне значення, то з формули (4.3.1) випливає, що лінійні швидкості точок тіла, що обертається, пропорційні їх відстаням від осі обертання.

Щоб знайти прискорення точки М скористаємося формулами

і .

(4.3.2)

Підставивши в цю формулу значення (4.3.1) і врахувавши, що , маємо:

, .

(4.3.3)

Повне прискорення точки М буде

.

(4.3.4)

Відхилення вектора повного прискорення від радіуса кола, що описує точка, визначається кутом m, який обчислюється за формулою

.

(4.3.5)

Формули (4.3.1) – (4.3.5) дозволяють визначити швидкість і прискорення будь-якої точки тіла, якщо відомий закон обертання тіла і відстань даної точки від осі обертання. По цим самим формулам можна за відомим законом руху однієї точки тіла, знайти рух будь-якої іншої точки тіла, а також характеристики руху тіла в цілому.

В результаті вивчення теми слухачі повинні

Знати :

- завдання руху твердого тіла;

- найпростіші види руху твердого тіла: поступальний і обертальний;

- кінематичні характеристики: швидкість і прискорення точок тіла що обертаються навколо нерухомої осі.

Вміти:

- визначати кінематичні характеристики обертального руху.

Питання для самоперевірки

1. Що називається абсолютно твердим тілом?

2. Назвіть основні види руху твердого тіла.

3. Який рух твердого тіла називають поступальним і які він має властивості?

4. Чи можуть точки тіла при поступальному русі описувати довільні траєкторії?

5. Який рух твердого тіла називають обертальним навколо нерухомої осі?

6. Сформулюйте теорему про поступальний рух.

7. Що називають кутом повороту?

8. Що називають середньою кутовою швидкістю? миттєвою кутовою швидкістю?

9. За якими формулами визначають модуль кутової швидкості?

10. Як напрямлений вектор кутової швидкості?

11. Що називають середнім кутовим прискоренням? миттєвим кутовим прискоренням?

12. За якими формулами визначають модуль кутового прискорення?

13. Як напрямлений вектор кутового прискорення?

Висновок по темі:При розв'язанні задач на обертання твердого тіла навколо не­рухомої осі часто буває доцільним додатне направлення осі обертання вибрати таким чином, щоб ω_zбула додатною величиною. В цьому випадку ε_z> 0 якщо обертання тіла прискорене і ε_z < 0, якщо обе­ртання сповільнене. Тоді замість ω_z можна взяти ω, а замість ε_zможна взяти + εабо - ε_z.

2.3. Плоскопаралельний рух твердого тіла

Під час вивчення даної теми необхідно ознайомитись з кінематичними рівняння руху.

Вивчити кінематичні характеристики швидкість і прискорення точок тіла при плоско паралельному русі.

Розглянути миттєвий центр швидкостей і способи його визначення.

Опрацювати приклад розв’язання задач з визначення швидкостей точок в плоскопаралельному русі.

Завдання:

У механізмі соломотряса (рис. 2.33) кривошип АВ обертається зі сталим числом обертів n = 225[об/хв.]Визначити кутові швидкості коромисла C₁D і шатуна B₁C₁ тоді, коли кривошип АВ₁і шатун В₁С₁утворюють одну пряму, якщо АВ₁ = 50 [мм], В₁С₁ = 1250 [мм], C₁D = 250 [мм], S = 1250 [мм], h = 100 [мм].

Розв'язування.

Визначимо спочатку положення миттєвого центра швидкостей шатуна за допомогою відомих напрямів швидкостей двох точок В₁і С₁. Вектор швидкості точки В₁ спрямований перпендикулярно до кривошипа АВ₁, вектор швидкості точки С₁ – перпендикулярно до коромисла DC₁. Миттєвий центр швидкостей шатуна розташований на перетині перпендикулярів, опущених з точок В₁ і С₁ до векторів їх швидкостей. Ці перпендикуляри перетинаються в точці С₁, яка і є миттєвим центром швидкостей шатуна В₁С₁. Тоді швидкість точки С₁ у даний момент дорівнює нулю. Оскільки коромисло DC₁ має дві нерухомі точки, то кутова швидкість його дорівнює нулю. Кутову швидкість шатуна В₁С₁ визначимо за формулою:

.

Рис. 1

Швидкість точки В₁, яка водночас є кінцевою точкою кривошипа АВ, можна визначити за допомогою кутової швидкості кривошипа:

, [м/с].

Отже

, [ ].

Дана тема найкраще висвітлена у навчальному посібнику: В.В. Цасюк Теоретична механіка. –Львів: Афіша, 2003. Стор 158 – 171.

Теоретичні відомості

Плоскопаралельний рух твердого тіла

1. Кінематичні рівняння руху.

2.Швидкості точок тіла при плоско паралельному русі.

3.Миттєвий центр швидкостей і способи його визначення.

Література

1. В.В. Цасюк Теоретична механіка. –Львів: Афіша, 2003.

2. Е.М. Нікітін Теоретична механіка. – М: Наука, 1983.

1. Кінематичні рівняння руху.

Плоским або плоско паралельним називається такий рух твердого тіла, при якому всі точки тіла рухаються у площинах, паралельних деякій заданій нерухомій площині.

На рис. 1. призма при русі займає послідовно три положення.

Перехід із положення І у положення ІІ призма здійснює у поступальному русі, перехід у положення ІІІ – у плоскому русі, оскільки, наприклад, пряма АВ переходить у пряму , які є непаралельними.

Рис. 1

Розглянемо тверде тіло, яке здійснює плоский рух, паралельний деякій нерухомій площині П (рис. 2.).

Рис. 2.

Якщо ми перетнемо тіло площиною Oxy, яка паралельна нерухомій площині П, тоді у перерізі дістанемо плоску фігуру S. При русі тіла ця фігура буде переміщуватися, залишаючись весь час у площині Oxy. Очевидно, що при плоскому русі всі точки перпендикуляра до площини фігури рухаються однаково, як і точка “а”, маючи однакові швидкості і прискорення, тому що цей перпендикуляр рухається поступально. Якщо взяти на перерізі другу точку “b” і провести перпендикуляр , то всі його точки будуть мати однакові швидкості і прискорення, але і . Якщо на перерізі взяти будь-яку кількість точок, то можна охопити все тіло разом. Таким чином, рух перерізу S може повністю репрезентувати плоско паралельний рух всього тіла.

Звідсіль випливає, що для визначення плоского руху тіла достатньо знати рух плоскої фігури S, одержаної перерізом тіла площиною, яка паралельна даній нерухомій площині.

Рівняння плоского руху тіла та його точок

Візьмемо у площині руху фігури S систему координат xOy, що є нерухомою по відношенню до цієї площини (рис. 3).

Виберемо за полюс будь-яку точку на фігурі і приймемо її за початок рухомої системи координат , незмінно зв’язану з фігурою S. Положення рухомої системи координат, як і плоскої фігури S, буде визначатися положенням точки і кутом повороту φ по відношенню до нерухомої осі х.

Рис. 3

Протягом часу координати полюса (точки ) і кут φ змінюються і є однозначними функціями часу:

(2.66)

Ці рівняння є рівняннями руху плоскої фігури, або, що одне і те ж, кінематичними рівняннями плоского руху тіла.