Решение

Зміст лекції

Лекція № 7

Тема: Похідна функції

План

1. Приріст аргументу. Приріст функції.

2. Визначення похідної.

3. Основні правила диференціювання.

4. Основні формули диференціювання.

5. Похідна складної функції.

Література:

1. Грисенко М.В.. Математика для економістів: Методи й моделі, приклади й задачі: Навч. посібник. – К.: Либідь, 2007. – 720с.

2. Клепко Ю.В., Голець В.Л. Вища математика в прикладах і задачах: Навчальний посібник. – К.: Центр навчальної літератури, 2006.

1. Приріст аргументу. Приріст функції

Нехай функція визначена в точках x₀ та x₁. Різниця x₁ – x₀ називається приростом аргументу, а різниця f ( x₀ + )  f ( x₀) – приростом функції при переході від значення аргумента x₀ до значення аргумента f ( x₀ + ).

Приріст аргументу позначають ; значить=x₁ – x₀, тобто x₁ = x₀ + .

Приростом функції

позначають ; значить .

Геометричний зміст даної рівності проілюстрований на рис.1.

2. Визначення похідної

Означення: Похідною функції у точці х₀ називається число, до якого прямує відношення

якщо прямує до нуля. Похідна функції f у точці х₀позначається , тобто за означенням .

Функцію, що має похідну в точці х₀, називають диференційовною в цій точці. Задачі про миттєву швидкість та про дотичну до кривої дають фізичний та геометричний зміст похідної.

3. Основні правила диференціювання

4. Основні формули диференціювання

1.	9.
2.	10.
3.	11.
4.	12.
5.	13.
6.	14.
7.	15.
8.	16.

5. Похідна складної функції

Якщо y=f(u), u=g(x) і функції f і g диференційовані функції своїх аргументів, то існує похідна по х складної функції у:

y`_x =y`_u · u`_x

Якщо функція задана неявно, тобто рівняння не розв’язане відносно , обидві частини цього рівняння диференціюють по , а потім знаходять .

Якщо функція задана параметрично у вигляді

то

Похідною -го порядку від функції називається похідною від похідної -го порядку:

Ця похідна може позначатися так

Для параметрично заданої функції похідна ‑го порядку знаходиться як .

Запитання для самоконтролю:

1. Дайте означення похідної функції.

2. Запишіть похідні основних елементарних функцій.

3. Сформулюйте правила диференціювання функцій.

4. Запишіть формулу для знаходження похідної складної функції.

5. Запишіть формулу для знаходження похідної функції, яка задана параметрично.

Походження поняття похідної (доповідь)

Ряд задач диференціального вирахування був вирішений ще в стародавності.
Основне поняття диференціального вирахування – поняття похідної – виникло в XVII ст. у зв'язку з необхідністю вирішення ряду задач з фізики, механіки і математики, у першу чергу наступних двох: визначення швидкості прямолінійного нерівномірного руху і побудови дотичної до похідної плоскої кривої.

Перша з цих задач була уперше вирішена Ньютоном. Функцію він називав флюентою, тобто поточною величиною (від латинського fluere - текти), похідну ж - флюксіей (від того ж fluere). Ньютон позначав функції останніми літерами латинського алфавіту u, x, y, z, а їх флюксії, тобто похідні від флюент за часом, - відповідно тими ж літерами з крапкою над ними:

Для доказу свого правила Ньютон, випливаючи в основному з Ферма, розглядає нескінченно малий приріст часу dt, що він позначав знаком х0, відмінним від нуля. Вираз x0, що позначається нині і називається диференціалом (dx), Ньютон називав моментом.
Ньютон прийшов до поняття похідної, виходячи з питань механіки. Свої результати в цій області він виклав у трактаті, названому їм «Метод флюксій і нескінченних рядів», що був складений близько 1671 р. Припускають, що Ньютон відкрив свій метод флюксій ще в середині 60-х років XVII в., однак вищезгаданий його трактат був опублікований посмертно лише в 1736 р.

Математиків XV - XVII ст. довго хвилювало питання про перебування загального методу для побудови дотичної в будь-якій точці кривої. Задача ця була зв'язана також з вивченням рухів тіл і з відшуканням екстремумів найбільших і найменших значень різних функцій.

Деякі окремі випадки вирішення задач були дані ще в стародавності. Так у «Початках» Евкліда дан спосіб побудови дотичної до окружності, Архімед побудував дотичну до спіралі, що носить його ім'я, Аполлоній - до еліпса, гіперболи і параболи. Однак давньогрецькі вчені не вирішили задачу до кінця, тобто не знайшли загального методу, придатного для побудови дотичної до будь-якої плоскої кривої в похідній її точці.
Із самого початку XVII в. чимало вчених, у тому числі Торрічеллі, Вивиани, Роберваль, Барроу, намагалися знайти вирішення питання, прибігаючи до кінематичних міркувань. Перший загальний спосіб побудови дотичної до алгебраїчної кривої був викладений у «Геометрії» Декарта. Більш загального і важливим для розвитку диференціального вирахування був метод побудови дотичних Ферма.
Ґрунтуючись на результатах Ферма і деяких інших висновках, Лейбниц значно повніше своїх попередників вирішив задачу, про яку йде мова, створивши відповідний алгоритм. У нього задача знаходження tgj , тобто кутового коефіцієнта дотичної в точці М, до плоскої кривої, обумовленою функцією , зводиться до знаходженню похідної функції y по незалежній змінній x при даному її значенні (або в даній точці) x = x₁.

Можна навести й інші приклади, що показують, яку велику роль грає поняття похідної в науці і техніці: прискорення – є похідна від швидкості за часом, теплоємність тіла – є похідна від кількості тепла по температурі, швидкість радіоактивного розпаду – є похідна від маси радіоактивної речовини за часом і т.п. Вивчення властивостей і способів обчислення похідних і їхнє застосування до дослідження функцій складає головний предмет диференціального вирахування.
Перша друкована праця по диференціальному вирахуванню була опублікована Лейбницем у 1684 р. Це були мемуари, що з'явилися в 1682 р. в математичному журналі «Acta Eruditorum» (прототип «Навчальних записок») і озаглавлений «Новий метод максимумів і мінімумів, а також дотичних, для якого не є перешкодою дробові й ірраціональні кількості, і особливий для цього рід вирахування». У цій статті, що складається усього лише з 6 сторінок, міститься виклад суті методу вирахування нескінченно малих, зокрема викладаються основні правила диференціювання. Отже, якщо в «Методі флюксій» як первісне поняття фігурує швидкість, то в «Новому методі» Лейбница таким поняттям є дотична .

Збільшення абсциси Лейбниц позначав через dx, що відповідає збільшенню ординати – через dy. Нині уживаний символ похідної бере свій початок від Лейбница. У Лейбница основним поняттям була не похідна, для якої він навіть спеціального терміна не мав, а диференціал.

У середині XVIII ст. Ейлер став користуватися грецькою літерою ∆ для позначення приростів змінних величин, тобто ∆y = y₂ – y₁, ∆х = x₂ – x₁ і т.д. Це позначення збереглося понині. Ми пишемо: .

Позначення і для похідної ввів Лагранж.
Сам термін «похідна» уперше зустрічається у француза Луа Арбогаста в його книзі «Обчислення похідних», опублікованої в Парижі в 1800 р. Цим терміном відразу ж став користуватися і Лагранж. Термін цей швидко ввійшов у загальний ужиток, а Коші, використовуючи початкову літеру цього терміна, став позначати похідну символом Dy або Df(x).

Термінологія Ньютона (флюенти, флюксії) і його символи похідної утратили своє значення. Лише у фізиці і механіці в деяких випадках позначають крапками над літерами похідні за часом.

Перший друкований курс диференціального вирахування вийшов у світ в Парижі в 1696 р. під заголовком «Аналіз нескінченно малих». Його автор Г. Ф. Де Лопіталь за основу цієї книги взяв рукопис Йоганна Бернуллі, одного з найближчих співробітників Лейбніца. Ось чому цей курс варто розглядати як типовий добуток школи Лейбница.
У першій же главі своєї книги Лопиталь вимагає, «щоб величина, збільшена або зменшена на іншу нескінченно малу величину, могла бути розглянута як незмінна». Отут нескінченно мала розглядається як нуль, її можна відкидати. Це один з фундаментальних принципів вирахування нескінченно малих Лейбница, нині відкинутий наукою. Цим принципом користувався Лопиталь і при установленні формул диференціювання.

У перший період розробки математичного аналізу основоположники цієї теорії не могли досить чітко і ясно обґрунтувати принципи цієї теорії і тому шукали підтвердження правильності теорії в узгодженості математичних висновків з досвідом, із практикою при вирішенні задач механіки й астрономії. Однак проста перевірка гіпотези на практиці не дає абсолютної впевненості в її непогрішності. Досить одного факту, що не погодиться з даною гіпотезою, як вона буде спростована. Ось чому на наступних етапах перед математиками виникла проблема суворого математичного обґрунтування теорії математичного аналізу.

Задача 4.1. Найти производную функции , исходя из ее определения.