Если же , то в силу (2.1) . 2 страница

Определение. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если после приведения их к общему началу из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден совершающимся против часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой.

Определение. Тройка некомпланарных векторов называется правой (левой), если после приведения к общему началу векторы располагаются так, как могут быть расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки.

 
 

 


Рассмотрим векторы , и , расположенные таким образом, как показано на рисунке. Правыми тройками будут , и . Тройки векторов , , - левые.

Определение. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который определяется тремя условиями:

1) длина вектора равна , где - угол между векторами и ;

2) вектор перпендикулярен каждому из векторов и ;

3) векторы , и образуют правую тройку.

 
 

 


Условия 2) и 3) относятся к случаю, когда . Если , то векторное произведение определяется только условием 1).

Определение. Декартова система координат называется правой (левой), если три базисных вектора образуют правую (левую) тройку.

Геометрические свойства векторного произведения.

Теорема 10. Для коллинеарности двух векторов необходимо и достаточно, чтобы равнялось нулю их векторное произведение.

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы и коллинеарны, тогда или и . По определению векторного произведения длина вектора равна , следовательно, векторное произведение равно нулю.

Достаточность. Пусть . Докажем, что векторы и коллинеарны. Если один из этих векторов, например вектор , является нулевым, то он коллинеарен любому вектору, в частности, и вектору . Если оба вектора ненулевые, то , , поэтому из условия 1 скалярного произведения следует, что , т. е. векторы и коллинеарны. Теорема доказана.

Теорема 11. Длина (модуль) векторного произведения равняется площади параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах и .

Доказательство. Площадь параллелограмма равна произведению длин смежных сторон на синус угла между ними. Рассмотрим параллелограмм, построенный как на сторонах на приведенных к общему началу векторах и . Тогда длины сторон равны и , угол между этими смежными сторонами равен углу между векторами. Поэтому площадь параллелограмма равна . Теорема доказана.

Следствие. Если - орт векторного произведения , а - площадь параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах и , то для векторного произведения справедлива формула

. (2.23)

Доказательство. Проверим выполнение условий, которым должно удовлетворять векторное произведение , если . 1) Длина векторного произведения . 2) Вектор коллинеарен вектору , поэтому он перпендикулярен каждому из векторов и . 3) Так как , то вектор и вектор , который является ортом векторного произведения , имеют одинаковое направление, следовательно, векторы , и образуют правую тройку. Таким образом, вектор является векторным произведением векторов и , т. е. . Следствие доказано.

Алгебраические свойства векторного произведения.

1. (свойство антиперестановочности сомножителей).

Доказательство. Пусть , . Если векторы и коллинеарны, то по теореме 1 получаем, что . Если векторы и не коллинеарны, то , т. е. векторы и имеют одинаковую длину. Векторы и коллинеарны, так как каждый из них перпендикулярен плоскости, в которой расположены векторы и , т. е. либо , либо . Если векторы и равны, то тройки векторов и одновременно являются обе правыми или левыми, что невозможно, следовательно, , или . Свойство доказано.

2. .

Доказательство. Пусть , . Если векторы и коллинеарны или , то по теореме 1 получаем, что .

Рассмотрим случай, когда векторы и не коллинеарны и . Докажем, что в этом случае векторы и равны. Пусть - угол между векторами и , а - угол между векторами и . Тогда , . Если , то векторы и направлены в одну сторону, поэтому и . Если же , то векторы и имеют противоположное направление, т. е. , но . Таким образом, векторы и имеют одинаковую длину при любых значениях . Векторы , и расположены в одной плоскости, поэтому векторы и коллинеарны (оба перпендикулярны одной и той же плоскости). Для доказательства равенства векторов и осталось доказать, что они одинаково направлены. Действительно, если ( ), то векторы и одинаково (противоположно) направлены, поэтому векторы и , а также векторы и одинаково (противоположно) направлены. Следовательно, векторы и имеют одинаковое направление. Свойство доказано.

3. .

Доказательство. Если векторы и коллинеарны вектору или хотя бы один из векторов , , нулевой, то свойство очевидно. Для доказательства свойства в других случаях введем орт вектора . Векторы и приведем к общему началу и через точку проведем плоскость , перпендикулярную вектору . Рассмотрим треугольник такой, что , , . Проекции точек и на плоскость обозначим и соответственно. Полученный треугольник повернем вокруг оси, определяемой вектором , на угол по часовой стрелке, если смотреть из конца вектора . Получим треугольник . Пусть - угол между векторами и . Для определенности будем считать, что (для всех остальных случаев доказательство проводится аналогично).

 
 

 

 


Рассмотрим вектор . Учитывая, что , длину вектора можно представить в виде . Вектор расположен в плоскости , которая перпендикулярна вектору по построению, следовательно, . Кроме того, перпендикулярен вектору (по построению). Векторы , и образуют правую тройку. Таким образом, . Проводя аналогичные рассуждения для векторов и , получим, что , . Учитывая, что , получим:

. (2.24)

Вектор направлен так же, как и вектор , поэтому . Умножим равенство (2.24) на число . Получим . Согласно алгебраическому свойству 2 векторного произведения или . Свойство доказано.

4. для любого вектора .

Доказательство. Любой вектор коллинеарен сам себе, поэтому по теореме 1 . Свойство доказано.

При доказательстве алгебраического свойства 3 использовалось следствие из свойства 2.

Следствие 1. .

Доказательство. Для доказательства этого утверждения воспользуемся свойством антиперестановочности сомножителей векторного произведения и свойством 2. Имеем: . Следствие доказано.

Следствие 2. .

Доказательство. Воспользуемся свойством антиперестановочности сомножителей векторного произведения и свойством 3. Имеем: . Следствие доказано.

Используя следствия 1 и 2, получим:

. (2.25)

 

2.7. Выражение векторного произведения через координаты векторов

 

Из определения и свойств скалярного произведения векторов следует, что для базисных векторов , , выполняются соотношения

, , , , , . (2.26)

Теорема 12. Если векторы и заданы своими координатами, т. е. , , то векторное произведение векторов и вычисляется по формуле

, (2.27)

или .

Доказательство. Разложим векторы и по базису , , , получим , . Тогда по свойствам векторного произведения векторов, используя формулы (2.26), имеем: = . Теорема доказана.

Следствие. Если векторы и коллинеарны, то их координаты пропорциональны, т. е.

. (2.28)

Доказательство. Если векторы и коллинеарны, то . Из формулы (2.27) получаем, что , , . Из этих равенств следует (2.28). Следствие доказано.

Соотношения (2.28) называются условием параллельности (коллинеарности) двух векторов.

Следствие. Если векторы и заданы своими координатами, т. е. , , то векторное произведение векторов и вычисляется по формуле

. (2.29)