Если же , то в силу (2.1) . 1 страница

Пусть задана некоторая ось и . Применяя к каждому из этих векторов формулу (2.2), получим, что , т. е. равные векторы имеют равные проекции на одну и ту же ось.

Определение. Проекции , , вектора на оси , и прямоугольной системы координат называются координатами вектора в этой системе координат.

Если для вектора , , , то символически это записывается в виде

. (2.3)

Теорема 2. Для любых двух точек и координаты вектора определяются по формулам

, , . (2.4)

Доказательство. Проведем через точки и плоскости, перпендикулярные оси , и обозначим точки пересечения оси и построенных плоскостей и .

Точки и имеют на оси координаты и . По определению , но , т. е. . Аналогично доказываются и остальные соотношения. Теорема доказана.

Рассмотрим свойства проекций векторов на ось.

Теорема 3. Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме их проекций на эту ось, т. е.

. (2.5)

Доказательство. Пусть , тогда, приложив вектор к концу вектора , т. е. к точке , можем считать, что . Обозначим через , , проекции точек , и С на ось . По определению проекции вектора на ось имеем: , , , (последнее равенство следует из правила сложения величин вещественных чисел).

Таким образом, . Теорема доказана.

Теорема 4. При умножении вектора на число его проекция на ось также умножается на это число, т. е.

. (2.6)

Доказательство. Пусть - угол между осью и вектором , а - угол между осью и вектором . Если , то векторы и направлены одинаково и . Если же , то векторы и имеют противоположное направление и .

Согласно (2.2) при имеем: . Если же , то . При обе части равенства (2.6) обращаются в нуль. Таким образом, при любых вещественных значениях . Теорема доказана.

Из этой теоремы вытекает следствие.

Следствие. Если векторы и заданы своими координатами, т. е. , , то при любых действительных числах и вектор имеет координаты

. (2.7)

Пусть - углы наклона вектора к осям , и соответственно.

Определение. Три числа , и называются направляющими косинусамивектора .

Из определения координат вектора следует, что если , то

, , . (2.8)

Так как является диагональю прямоугольного параллелепипеда со сторонами, которые отсекают на координатных осях величины , и , то

. (2.9)

Из формул (2.8) и (2.9) находятся выражения для направляющих косинусов вектора через его координаты:

, , . (2.10)

Возводя полученные равенства в квадрат и складывая, получим, что , т. е. сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна единице.

Так как вектор однозначно определяется заданием трех его координат, из полученных формул (2.8) следует, что вектор однозначно определяется заданием его длины и трех направляющих косинусов.

П р и м е р 22. Даны два вектора и . Найти проекции на координатные оси векторов и .

Решение. Проекциями вектора на координатные оси являются его координаты. По формуле (2.7) получим: , .

2.5. Скалярное произведение векторов

Определение. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т. е.

, (2.16)

где - угол между векторами и .

Если хотя бы один из векторов или - нулевой, то угол между векторами не определен, и скалярное произведение полагается равным нулю.

Проекцию вектора на ось, определяемую вектором , обозначим . По определению проекции вектора на ось имеем: . Тогда скалярное произведение двух ненулевых векторов и определяется формулой

. (2.17)

Учитывая, что в определении скалярного произведения векторы и взаимозаменяемые, его можно представить в виде

. (2.18)

Соотношения (2.17) и (2.18) позволяют сформулировать другое определение скалярного произведения.

Определение. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число (скаляр), равное произведению длины одного из этих векторов на проекцию другого вектора на ось, определяемую первым из указанных векторов.

Физический смысл скалярного произведения заключается в следующем: если точка приложения силы, задаваемой постоянным вектором , перемещается вдоль вектора , то работа этой силы определяется равенством , где - угол между векторами и , т. е. работа равна скалярному произведению векторов и .

Теорема 8. Необходимым и достаточным условием ортогональности (перпендикулярности) двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы и ортогональны, - угол между ними, тогда , и в силу формулы (2.16) .

Достаточность. Пусть . Докажем, что векторы и ортогональны. Если хотя бы один из векторов равен нулевому вектору, то он имеет неопределенное направление, и можно считать, что векторы ортогональны. Если оба вектора и ненулевые, то , , поэтому из (2.16) следует, что , т, е. векторы и ортогональны. Теорема доказана.

Если два вектора привести к общему началу, то в качестве угла между этими векторами можно взять любой из углов или .

Действительно, сумма углов и равна , поэтому . В определение скалярного произведения входит сомножителем только косинус угла между векторами. Из двух углов и между векторами один всегда не более . За угол между векторами принимается наименьший из углов и , т. е. .

Если скалярное произведение двух ненулевых неколлинеарных векторов и положительно (отрицательно), то эти два вектора составляют острый (тупой) угол.

Свойства скалярного произведения:

1. .

Доказательство. Это свойство непосредственно вытекает из определения скалярного произведения: . Свойство доказано.

2. .

Доказательство. Для доказательства этого свойства воспользуемся формулой (2.18) для определения скалярного произведения и свойствами проекций векторов на ось: . Свойство доказано.

3. .

Доказательство. Воспользуемся формулой (2.18) для определения скалярного произведения и свойствами проекций векторов на ось. Получим: . Свойство доказано.

4. , если , и , если .

Доказательство. Из определения скалярного произведения с использованием соотношения (2.16) следует, что . Если , то и . Если же , то , поэтому . Свойство доказано.

Эти свойства позволяют при скалярном перемножении векторных многочленов выполнять действия почленно, не учитывая порядок векторных сомножителей и сочетая числовые множители.

Из определения и свойств скалярного произведения векторов следует, что для базисных векторов , , выполняются соотношения

a) ; (2.19)

b) . (2.20)

Теорема 9. Если векторы и заданы своими координатами, т. е. , , то скалярное произведение векторов и вычисляется по формуле

. (2.21)

Доказательство. Разложим векторы и по базису , , , получим , . Тогда по свойствам скалярного произведения векторов, используя формулы (2.19), (2.20), имеем . Теорема доказана.

Следствие. Угол между ненулевыми векторами и определяется по формуле

. (2.22)

Доказательство. По определению скалярного произведения двух ненулевых векторов , поэтому . Воспользовавшись формулами (2.21) и (2.9) для скалярного произведения и длин векторов, заданных своими координатами, получим формулу (2.22).

Замечание. Если один из векторов или является нулевым, то угол между векторами определяется неоднозначно и может быть выбран произвольным.

П р и м е р 24. Дано, что , . Определить, при каком значении векторы и будут взаимно перпендикулярны.

Решение. Условием перпендикулярности векторов является равенство нулю их скалярного произведения, т. е. . По свойствам скалярного произведения . Таким образом, , или .

П р и м е р 25. Векторы и образуют угол . Зная, что , , вычислить угол между векторами и .

Решение. Для нахождения косинуса угла между векторами и воспользуемся соотношением (2.22). По формуле (2.21): . Найдем длины векторов и , используя свойства скалярного произведения: . Аналогично находим, что . Тогда и .

2.6. Векторное произведение векторов

Определение. Тройка векторов называется упорядоченной, если указано, какой из векторов считается первым, какой - вторым, а какой - третьим.

Например, - упорядоченная тройка векторов, в которой первым вектором является вектор , вторым - вектор , третьим - вектор .