Ізоморфізм векторних просторів

, , .

Розв’язуючи цю систему будь-яким способом, знайдемо

Розкладання вектора за базисом

Координати вектора у векторному просторі.

Для того, щоб вектори з векторного простору можна було б задавати за допомогою чисел і зводити операції над векторами до операцій над числами, вводиться поняття координат вектора.

Нехай – деякий базис векторного простору . Тоді будь-який вектор можна подати у вигляді (1)

де – деякі дійсні числа, причому єдиним чином. В цьому випадку вираз (1) називається розкладом вектора за базисом .

Означення. Коефіцієнти розкладу (1) називаються координатами вектора в даному базисі. Упорядкований набір координат вектора називається його координатним рядком і позначається :

.

Таким чином, базис дає змогу кожен вектор однозначно зобразити рядком чисел – координат цього вектора. Це зображення дозволяє виконувати над векторами лінійні операції за правилами лінійних операцій над матрицями-рядками: якщо і в деякому базисі, то

,

.

Зауваження. Разом із координатними рядками можна розглядати координатні стовпці , отримані транспонуванням -матриці .

Приклад.Довести, що вектори утворюють базис у просторі та знайти координати вектора в цьому базисі.

, , ,

Розв’язання. 1) Перевіримо необхідну і достатню умову компланарності векторів :

.

Оскільки , то вектори некомпланарні, тому вони лінійно незалежні і утворюють базис.

2) Розкладемо вектор за базисом :

або в координатному вигляді:

Вектори рівні, коли їх відповідні координати рівні. Тому одержимо систему :

3) Отже, .

.

Відповідь:

Елементами векторних просторів можуть біти об’єкти різної природи: напрямлені відрізки, впорядковані набори чисел, матриці, многочлени, функції, тощо. При вивченні векторних просторів інтерес являють не самі вектори, а операції над ними і властивості цих операцій. Може статися так, що, хоча вектори яких-небудь двох лінійних просторів за своєю природою абсолютно різні, з точки зору властивостей операцій над векторами ці простори не розрізняються.

Нехай і – векторні простори над одним й тим самим полем .

Означення. Простори і називаються ізоморфними, якщо між ними існує ізоморфізм – взаємно однозначна відповідність, яка задовольняє умовам:

1) якщо векторам і векторного простору відповідають вектори і векторного простору , то вектору відповідає вектор :

.

2) якщо вектору відповідає вектор , то для будь-якого вектору відповідає вектор :

.