Арифметические основы вычислительной техники.
Системой счисления (сс) называется совокупность приемов наименования и записи чисел. В любой сс для представления чисел выбираются некоторые символы (слова или знаки). Называемые базисными числами, а все остальные числа получаются в результате каких-либо операций из базисных чисел данной сс. Символы, используемые для записи чисел, могут быть любыми, только разными. И значение каждого из них должно быть известно. Наиболее распространено представление в виде арабских цифр от 0 до 9. В римской сс базисными являются числа – 1 5 10 50 100 500 1000, которые обозначаются знаками I V X L C D M, а другие получаются путем сложения или вычитания базисных: если цифра справа меньше или равна цифре слева, то эти цифры складываются, если цифра слева меньше чем цифра справа, то левая цифра вычитается из правой: 146 CXLVI. Подобные сс называются аддитивными. При сложении или вычитании больших чисел, а так же при умножении и делении римская система счислений неудобна. В ней каждый числовой знак в записи любого числа имеет одно и то же значение, то есть значение числового знака не зависит от его расположения в записи числа. Поэтому эта система относится к непозиционным система счисления. Система называется позиционной, если значение каждой цифры (ее вес) изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. В десятичной сс каждый разряд имеет вес, равный степени числа 10, например 343.32 три раза содержит цифру 3, при этом самая левая тройка – кол-во сотен (вес 102), три перед точкой – кол-во единиц (вес 100), а самая правая тройка – кол-во десятых долей единицы (вес 10-1). Поэтому данная последовательность может быть записана следующим образом: 3*102*+4*101+3*100+3*10-1+2*10-2 В общем виде это можно представить в виде полинома: Х=an*10n+an-1*10n-1+..+a1*101+a0*100+a-1+10-1+..+a-m*10-m (1)
Число к единиц какого либо разряда, объединяемых в единицу более старшего разряда называют основанием позиционной сс, а сама сс к-ичной. Для записи произвольного числа в к-ичной системе счисления достаточно иметь к различных цифр ai, i=0,..,k-1. Запись произвольного числа Х в к-ичной позиционной сс основывается на представлении этого числа в виде полинома: Х=an*Kn+an-1*Kn-1+..+a1*K1+a0*K0+a-1+K-1+..+a-m*K-m (2), где каждый коэффициент ai может быть одним из базисных чисел и обозначается
В современной вычислительной технике в устройствах автоматики и связи широко используется двоичная сс – система с наименьшим возможным основанием. Для изображения числа используется либо ноль либо единица. Примере изображения числа в двоичной сс:
0,25(10)=0,01(2)
0,5(10)=0,1(2)
1(10)=1(2)
2=10
3=11
4=100
5=101
6=110
7=111
8=1000
9=1001
10=1010
Таблица сложения чисел:
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=10
Таблица умножений чисел:
0*0=0
0*1=0
1*0=0
1*1=1
Неудобство двоичной сс, связанное с громоздкостью записи чисел при ручной обработке информации, вынуждает использовать другие сс. В восьмиричной базисные числа {0,..,7}
83,5(10)=64+16+3+4/8=1*82+2*81+3*80+4*8-1=123,4(8)
В шестнадцатеричной системе базисными являются числа от нуля до пятнадцати {0,..,9,A,B,C,D,E,F}
175,5(10)=160+15+8/16=10*161+15*160+8*16-1=af.8(16)
Иногда числа заданные в сс с основанием Р приходится изображать с помощью цифр другой системы счисления с основанием Q, где Q меньше Р. Это происходит, когда ЭВМ, непосредственно воспринимающий только двоичные числа, необходимо изобразить десятичные числа. В этом случае используются смешанные сс, в которых каждый коэффициент Р-ичного заложения числа записывается в Q-ичной системе. В такой системе Р называется старшим основанием, Q младшим основанием а сама смешанная система называется Q-P-ичной. Например, смешанной двоично-десятичной сс для изображения каждой десятичной цифры отводится 4 двоичных разряда.
925(10)=1001 0010 0010 (2-10)
В общем случае изображение числа Х в Р-ичной сс, Р=Ql является просто сокращенной записью изображения этого же числа Х в Q-ичной системе. Это свойство используется для сокращенной записи чисел заданный в сс с небольшим основанием. Для этого в исходной записи числа разряды объединяются вправо и влево от точки в группы некоторой длины и каждая такая группа записывается одной цифрой другой системы, основание которой равно соответствующей степени исходного основания. Например двоичное изображение числа 46,5(10)=101110.1(2) можно записать короче с использованием цифр других систем, причем эта сокращенная запись одновременно является и изображением данного числа в соответствующей сс.
101110.10=232.2(4)
101110.100=56.4(8) разложение по триадам
0010 1110.1000=2е.8(16) разложение по тетрадам
Перевод чисел из одной сс в другую происходит по формуле (2):
1. перевести число х=371(8) в десятичную.
Х=3*82+7*81+1*80=192+56+1=249(10)
2. Х=af.4(16)=10*161+15*160+4*16-1=160+15+0.25=175.25(10)
3. N=47(10) 101111(2) (там деление лесенкой(столбиком и остатки) а потом ответ с зада вперед)))
4. N=3060(10) – в (16) (опять делим столбиком…) = bf4