Типи поверхонь першого класу

Класифікація поверхонь другого порядку

Поверхні другого порядку

Відомо, що рівняння F(x,y,z) = 0 (1)позначає поверхню в неявному вигляді, якщо усі змінні в даній залежності знаходиться в першому ступені то маємо рівняння в площині, наприклад загальне рівняння Ax+By+Cz+D = 0.

Якщо хоча б одна з невыдомих A, B, C в другому степені то рівняння другого порядку має вид:

Ax²+By²+Cz²+2A₁xy+2B₁xz+2C₁yz+Ex+Ey+Kz+L = 0 (2)

Поворотом системи координат від доданків 2A₁xy; 2B₁xz; 2C₁yz можна звільнитися, тому надалі розглядатимемо рівняння виду:

Ax²+By²+Cz²+Ey+Dx+Fz+G = 0 (3)

x; y; z – координати поверхні в глвій системі координат, при умові, що |A|+|B|+|C|≠0,

Вважаємо, що якщо серед коефіцієнтів A, B, C є один нульовий то це буде останній коефіцієнт С=0

Якщо два нульових, то B = C = 0.

Вважаємо, що в (3) більше 0, якщо ні, то рівняння (3) помножимо на -1.

Поверхня другого порядку називається поверхнею першого класу, якщо усі сталі при старших степенях A, B, C = 0.

Означення. Поверхня називається поверхнею другого класу, якщо A і В ≠ 0, а С = 0, поверхня буде поверхнею третього класу.

Поверхня першого класу.

В рівнянні (3) згрупуємо невідомі з однією змінною та виділимо повний квадрат, отримаємо:

∆ = G + (4)

x₀ =

A(x-x₀)²+B(y-y₀)²+C(z-z₀)² = ∆ (5)

Рівняння (5) називається поверхнею першого класу з центром в точці О(x₀, y₀, z₀).

Якщо початок координат збігається з центром, то:

Ax²+By²+Cz² = ∆ (6)

a) Якщо ∆ = 0, то поверхня є конусом.

1) Нехай A, B, C > 0, маємо уявний конус, тобто конус вироджений в точці О(0; 0; 0).

2) Якщо B·C < 0, маємо дійсний конус.

(7)– канонічне рівняння конуса.

Дослідемо форму конуса за допомогою перерізів.

Наприклад. Переріжемо конус площиною YOZ, x = 0, y = -bz.

В площині YOZ маємо дві прямі.

Нехай y = 0

= ; x ≠ ±az

В площині XOZ маємо дві прямі.

Якщо z = 0 рівняння має сенс при x = y = 0.

Нехай z = 1

– рівняння еліпса в площині XOY,

отже маємо конічну поверхню виду:

b) Нехай ∆ ≠ 0; А, В, С > 0.

Маємо еліпсоїд.

1) Якщо ∆ < 0 – еліпсоїд уявний;

2) Якщо ∆ = 0 – еліпсоїд вироджений в точці О(0; 0; 0);

3) Якщо ∆ > 0 – еліпсоїд дійсний.

Побудуємо його. Рівняння (6) поділимо на ∆ і зробимо перетворення. Маємо рівняння (8)

· Нехай x = 0: – еліпс в площині YOZ

· Нехай y = 0: – еліпс в площині XOZ

· Нехай z = 0: – еліпс в площині XOY

c) Якщо A·B·C < 0, маємо гіпербалоїд.

Нехай A, B > 0; C < 0, маємо:

Ax²+By²-|C|z² = ∆

1) Нехай ∆ > 0 – маємо однопорожневий гіперболоїд

Дослідимо форму:

z = 0

В площині XOY – еліпс;

x = 0

В площині YOZ – гіпербола, Z - уявна вісь;

y = 0

В площині XOZ – гіпербола, Z - уявна вісь;

2) Нехай ∆ < 0 – маємо двопорожнинний гіперболоїд

(9)