Степеневі ряди

Ряд виду

(7.3)

називається степеневим рядом.

Число називається радіусом збіжності степеневого ряду , якщо він абсолютно збіжний при , і розбіжний при . При ряд може як збігатися, так і розбігатися.

Інтеграл називається областю збіжності степеневого ряду. Радіус збіжності може бути знайдений по формулі:

(7.4)

Приклад 11. (Задача 4.4) Знайти область збіжності степеневого ряду .

Розв’язання.

Радіус збіжності знаходимо за формулою (7.4) : , . .

Інтервал збіжності даного ряду визначається нерівністю або .

Дослідимо кінці інтервала збіжності:

1) при , одержуємо числовий ряд: . Застосуємо граничну ознаку порівняння. Для порівняння візьмемо гармонічний ряд – який розбіжний, , отже ряди , ведуть себе однаково. Тому ряд теж розбіжний.

2) при одержуємо знакозмінний ряд . Ряд збіжний за ознакою Лейбніца. Так як ряд складений з модулів членів даного ряду розбіжний, то даний ряд умовно збіжний.

Таким чином, інтервал збіжності досліджуваного степеневого ряду має вигляд .