Знакозмінні ряди

Знакозмінним називається числовий ряд, члени якого можуть бути як додатніми, так і від’ємними.

Розглянемо ряд, знаки членів якого чергуються, тобто ряд довільні два сусідні члени якого мають різні знаки:

, (7.2)

де , .

Цей ряд досліджується на збіжність за допомогою такої достатньої ознаки.

Теорема (Ознака Лейбніца). Ряд збіжний, якщо:

1) ;

2) .

При цьому сума ряду додатня і не перевищує першого його члена.

Ряди, для яких виконується ознака Лейбніца, називаються рядами лейбніцевого типу.

Абсолютна похибка від заміни суми збіжного ряду його частинною сумою не перевищує модуля першого з відкинутих членів ряду, тобто .

Приклад 10. Довести, що ряд збіжний і знайти його суму з точністю до .

Розв’язання.

Перевіримо виконання умов Лейбніца:

1) знаки членів ряду строго чергуються;

2) модулі членів ряду спадають ;

3)

Отже, ряд збіжний і має певну суму .

Для того щоб обчислити суму ряда з точністю до треба взяти стільки його членів, щоб перший з наступних членів був за модулем менший від . Тоді весь залишок ряду, починаючи з цього члена ряда буде менший від . В даному разі маємо:

тобто, щоб знайти суму даного ряду з точністю до , досить залишити перші три члени ряду, а решту відкинути. Таким чином,

Знакозмінний ряд називається умовно збіжним, якщо ряд (7.2) збіжний, а ряд утворений з модулів його членів розбіжний.

Наприклад. Ряд – збіжний і так як ряд , який складається з модулів членів даного ряду, збіжний, то даний знакозмінний ряд абсолютно збіжний.

Ряд – умовно збіжний, так як ряд – розбіжний, як гармонічний, а ряд – збіжний за ознакою Лейбніца.