Лінійні диференціальні рівняння
Однорідні диференціальні рівняння
Означення. Функція називається однорідною виміру відносно змінних і , якщо для довільного значення виконується тотожність:
.
Означення. Диференціальне рівняння називається однорідним, якщо – однорідна функція нульового виміру.
Однорідне рівняння можна записати у вигляді
Однорідне рівняння можна звести до рівняння з відокремлюваними змінними підстановкою .
Приклад 2 (Задача 4.1 (б)) Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння .
Розв’язання.
Рівняння однорідне. Виконаємо підстановку . Рівняння набуде вигляду
.
Повертаючись до заміни одержимо
Відповідь: .
Зауваження. До однорідних відносяться також рівняння виду: , якщо – однорідні функції одного виміру. В цьому випадку зручно використати підстановку , .
Означення. Рівняння називається лінійними диференціальним рівнянням.
Розв’яжемо рівняння методом Бернуллі.
Розв’язок рівняння шукають у вигляді , де – невідомі функції , причому одна з них довільна (але не рівна тотожно нулю).
Знаходимо похідну і підставляючи значення та в рівняння (1) дістанемо
Користуючись довільністю у виборі функції знайдемо її так, щоб тоді .
Тобто, розв’язавши сукупність рівнянь:
знайдемо функції .
Приклад 3. (Задача 4.1 (в)) Знайти загальний розв’язок рівняння .
Запишемо рівняння так .
Нехай , тоді
Отже, .
Відповідь: .