ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ

Література: [1] – ст. 472-504; [2] – ст. 264-292; [3] – ст. 236-257.

Нехай – довільна множина точок векторного простору . Якщо кожній точці поставлено у відповідність деяке цілком визначене дійсне число , то кажуть, що на множині задана числова функція від змінних . Множина називається областю визначення, а множина – множина значень функції .

Зокрема, при маємо функцію двох змінних , якщо кожній парі на площині поставлено у відповідність деяке число , то в області визначена функція двох змінних і коротко записують:

, або

Функції двох і більшого числа змінних часто використовуються в економічних дослідженнях: при прогнозуванні, вивченні попиту та пропозиції, аналіз виробничої діяльності підприємства тощо.

Частинним приростом функції по змінній називається вираз:

Зокрема при частинні прирости функції по змінних і називаються:

Якщо обом змінним надати прирости , то функція дістане повний приріст функції , тобто

Для функції багатьох змінних повний приріст функції:

Якщо існують скінченні границі:

;

;

,

то їх називають частинними похідними по змінних і позначають одним із символів , аналогічно . Обчислення частинних похідних виконується за тими ж правилами, що і обчислення похідних функції однієї змінної, при цьому при обчисленні вважати всі змінні крім сталими.

Частинні похідні першого порядку можна розглядати, як функції змінних і . Частинними похідними другого порядку функції називають їх частинні похідні від частинних похідних першого порядку. Наприклад, похідних 2-го порядку – чотири, і їх записують так:

Теорема про рівність мішаних похідних.

Якщо в деякому околі точки функція має неперервні мішані похідні другого порядку, то вони рівні: