Зразки розв’язування задач

Приклад 11.(Задача 2.4(а)) Знайдемо похідну функції .

Розв’язання.

Застосовуючи правило диференціювання складеної функції та формули похідних степеневої та логарифмічної функцій, маємо:

Приклад 12. (Задача 2.4 (б)) Знайдемо похідну функції .

Розв’язання.

Прологарифмуємо функцію , а потім продиференціюємо, тобто

Таким чином, .

Приклад 13. (Задача 2.4 (г)) Знайдемо похідну функції, заданої параметрично

Розв’язання.

Застосовуючи формулу похідної функції, яка задана параметрично, знаходимо:

Приклад 14. Продиференціюємо функцію .

Розв’язання.

Цю функцію можна диференціювати як частку двох функцій. Але це приведе до складних обчислень. тому краще спочатку прологарифмувати функцію, а потім продиференціювати.

Дійсно,

Диференціюючи ( розглядаємо як складену функцію), маємо:

Тоді .

Диференціал.

Якщо задано диференційовну функцію , то її приріст

, (1)

де , коли . При величина є величиною нескінченно малою вищого порядку, ніж . Перший доданок у формулі (1) є головною частиною приросту функції в точці . Цей доданок і називається диференціалом функції.

Диференціалом функції називається добуток похідної даної функції на приріст незалежної змінної. Диференціал функції позначається символом .

Диференціалом незалежної змінної називається її приріст: .

Тому .

Геометрично (рис. 5) диференціал функції являє собою приріст ординати дотичної до графіка функції в точці .

Приклад 15. (Задача 2.5) Обчислимо наближено за допомогою диференціала значення функції в точці .

Розв’язання.

У формулі застосування диференціала до наближених обчислень покладемо . Тоді , але , , .

Отже, .

Рис. 5

Застосування диференціального числення
для дослідження функцій

Монотонність функції. Якщо диференційовна на інтервалі і всюди, крім, можливо, скінченого числа точок, в яких на , то функція зростає (спадає) на .

Інтервали монотонності функції (інтервали спадання чи зростання) відділяються один від одного точками, де похідна функції рівна нулю або не існує. Дані точки називаються критичними точками.

Щоб знайти інтервали монотонності функції , необхідно: 1) знайти область визначення функції; 2) знайти похідну даної функції; 3) знайти критичні точки з рівняння та з умови, що не існує; 4) розділити критичними точками область визначення на інтервали і в кожному з них визначити знак похідної. На інтервалах, де похідна додатна, функція зростає, а де від’ємна – спадає.

Локальний екстремум. Достатні умови екстремуму:

Правило 1. Якщо – критична точка функції і при довільному малому виконуються нерівності , то функція в точці має максимум; якщо ж ,то в точці має мінімум; якщо ж знаки і однакові, то функція в точці екстремуму не має.

Правило 2. Якщо то функція в точці має екстремум, а саме максимум, якщо , і мінімум, якщо .

Для знаходження найбільшого (найменшого) значення функції на відрізку необхідно із значень функції на кінцях відрізка і в критичних точках, які належать даному відрізку, вибрати найбільше (найменше).

Приклад 16. (Задача 2.6) Знайдемо найбільше та найменше значення функції на відрізку .

Розв’язання.

Знаходимо екстремуми функції. Для цього обчислюємо першу похідну функції

Функція має дві критичні точки . Але точка не належить відрізку . В точці функція має максимум, причому . Обчислимо значення функції на кінцях відрізка: .

Таким чином, найбільше значення дана функція на відрізку набуває в точці , а найменше – в точці .

Опуклість. Увігнутість. Точки перегину. Графік функції називається опуклим (увігнутим) на інтервалі , якщо він розташований нижче (вище) дотичної, проведеної в довільній точці графіка над даним інтервалом.

Достатні умови опуклості (увігнутості) графіка функції: Якщо на інтервалі , то графік функції опуклий на вказаному інтервалі; якщо , то графік функції увігнутий на інтервалі .

Точка графіка функції, яка відділяє його опуклу частину від увігнутої називається точкою перегину. В абсцисах точок перегину друга похідна функції дорівнює нулю або не існує ( або – не існує). Точки, в яких або не існує, називають критичними точками другого роду.

Якщо – критична точка другого роду і при довільному достатньо малому виконуються нерівності або , то точка кривої з абсцисою є точкою перегину.

Асимптоти. Пряма називається асимптотою кривої , якщо відстань від точки кривої до прямої прямує до нуля при необмеженому віддаленні даної точки по кривій від початку координат.

Пряма є вертикальною асимптотою кривої , якщо .

Пряма є горизонтальною асимптотою кривої , якщо існує границя або .

Пряма є похилою асимптотою кривої , якщо існують границі:

або

Схема дослідження функції та побудова графіка.

1. Знайти область визначення функції, інтервали неперервності, точки розриву.

2. Знайти (якщо це можливо) точки перетину графіка з координатними осями.

3. Дослідити функцію на періодичність, парність і непарність.

4. Знайти інтервали монотонності, точки локальних екстремумів та значення функції у цих точках.

5. Знайти інтервали опуклості, ввігнутості та перегину.

6. Дослідження функції на межі області існування. Асимптоти графіка.

7. Побудувати графік функції, враховуючи дослідження.

Приклад 17. (Задача 2.7) Дослідити методами диференціаль-ного числення функцію

та побудувати її графік.

Розв’язання.

1. Область визначення: . Точки розриву .

2. Якщо , то , тому графік перетинає осі координат в точці .

3. Функція не періодична. Оскільки , то функція непарна, а отже графік функції симетричний відносно початку координат.

4. . Розв’язком даного рівняння є . Похідна не існує в . Знайдемо знаки на проміжках:

Отже, на – функція спадає,
на – функція зростає,
на – функція спадає.

У точках функція має локальний екстремум: – локальний максимум, – локальний мінімум.

5. Знаходимо . Похідна при і не існує при . Знайдемо знаки на проміжках:

Отже, на – крива ввігнута, на – крива опукла.

6. – вертикальні асимптоти кривої. Знайдемо похилу асимптоту кривої .

– похила асимптота.

7. Враховуючи проведені дослідження будуємо графік функції.

Рис. 6

Застосування диференціального числення до економічних задач

Приклад 18. (Задача 2.8) Загальна вартість вироблених одиниць продукції визначається функцією (у грн). Скільки одиниць продукції треба випускати, щоб мінімізувати середню вартість одиниці продукції?