Зразки розв’язування задач

Приклад 1. (Задача 1.4) Дано координати точок , , , , .

Засобами векторної алгебри знайти:

1) кут між векторами і ;

2) площу трикутника ;

3) об’єм піраміди ;

4) розкласти вектор за базисом із векторів .

Розв’язання.

1) Знайдемо координати векторів і . Маємо

Косинус кута між векторами і має вигляд:

Тоді

2) Площа трикутника дорівнює половині площі паралелограма, побудованого на векторах і , тобто половині модуля векторного добутку векторів і . Оскільки , то

.

Отже, (кв. од.).

3) Об’єм піраміди дорівнює модуля мішаного добутку векторів , .

Знайдемо їх мішаний добуток

Отже, (куб. од.).

4) Запишемо розклад вектора за базисом , :

, (1.13)

Оскільки , , то перепишемо рівність (1.13) у вигляді

Ця рівність рівносильна системі лінійних рівнянь:

Розв’язавши дану систему будь-яким з методів знайдемо

Отже,

Пряма на площині.

Література: [1] – с. 105-121; [4] – с. 58-65; [5] – с. 140-144.

1. Пряма, що проходить через точку перпендикулярно до вектора , який називається нормальним вектором прямої (рис. 2), має рівняння вигляду:

(1.14)

2. Позначимо , тоді отримаємо загальне рівняння прямої:

(1.15)

3. Пряма, що проходить через точку паралельно до вектора , який називається напрямним вектором прямої (рис. 2), має рівняння вигляду:

(1.16)

Рівняння (1.16) називають канонічним рівнянням прямої.

4. Рівняння прямої, що проходить через дві точки і , має вигляд:

(1.17)

Відстань від точки до прямої знаходять за формулою

, (1.18)

Приклад 2. (Задача 1.5) Дано вершини трикутника : , , . Знайти:

1) рівняння сторін , і ;

2) рівняння висоти, опущеної з вершини на сторону , і обчислити її довжину, рівняння медіани ;

3) рівняння прямої, що проходить через точку паралельно прямій , і обчислити відстань між цими прямими.

Розв’язання.

Побудуємо рисунок до задачі.

На рисунку 3: – висота, – медіана, – пряма, паралельна прямій .

1) Запишемо рівняння прямої, що проходить через дві точки, скориставшись формулою (1.17). Рівняння сторони :

Аналогічно знаходимо рівняння сторін і .

Рівняння сторони :

Рівняння сторони :

2) Висота проходить через точку (рис. 3) і , тому нормальний вектор прямої паралельний і є напрямним для висоти . Скориставшись формулою (1.16), запишемо канонічне рівняння :

Тоді загальне рівняння прийме вигляд:

Довжина висоти дорівнює відстані від точки до прямої , тому, скориставшись формулою (1.18), маємо

Знайдемо рівняння медіани . Точка є серединою відрізка (рис. 3), тому за формулами (1.9), маємо:

Тоді рівняння медіани , що проходить через точки і має вигляд (за формулою (1.17)):

3) Пряма , що проходить через точку паралельно буде мати такий самий напрямний вектор, як і , тобто . Запишемо канонічне рівняння прямої :

Загальне рівняння прямої має вигляд

Оскільки прямі і паралельні, то відстань між ними можна визначити як відстань від будь-якої точки однієї прямої до іншої прямої. Відстань від точки А до прямої дорівнює довжині висоти , тому

Приклад 3. (Задача 1.6) Знайти графічним методом множину розв'язків системи лінійних нерівностей. Знайти координати кутових точок.

Розв'язання.

Множиною розв'язків лінійної нерівності з двома невідомими є півплощина, що лежить по одну сторону від граничної прямої, рівняння якої можна отримати, якщо замінити знак нерівності знаком рівності. Таким чином, отримаємо в даній задачі рівняння трьох граничних прямих:

Побудуємо ці прямі на площині :

Рис. 4

Лінійній нерівності задовольняють координати точок півплощини, обмеженої прямою і тільки координати точок цієї півплощини. Тому для того, щоб визначити розташування відповідної півплощини відносно граничної прямої, підставимо координати будь-якої точки (найпростіше – початку координат) в ліву частину нерівності. Так, наприклад, при підстановці значень в першу нерівність, отримаємо . Таким чином, множина розв'язків цієї нерівності містить початок координат. Аналогічний результат отримаємо для другої нерівності: . Для третьої нерівності отримаємо , що невірно. Таким чином, координати початку координат не задовольняють третьої нерівності, тому відповідна півплощина розташована по інший бік, ніж початок координат, від третьої граничної прямої.

Розташування вказаних півплощин вказано стрілками. Очевидно, множиною розв'язків даної системи нерівностей буде трикутник з вершинами, що є точками перетину вказаних прямих. Для знаходження координат вершин отриманого трикутника необхідно розв'язати сумісно відповідні пари рівнянь.

Розв'яжемо відповідну систему для того, щоб знайти координати

а) точки :

.

б) точки :

.

в) точки :

.