Вектори та дії над ними

Елементи аналітичної геометрії.

Контрольні запитання

1. Що таке матриця?

2. Які є види матриць?

3. Які операції над матрицями називають лінійними?

4. Яку матрицю називають сумою (різницею) матриць?

5. Яку матрицю називають добутком матриці на число?

6. Які властивості лінійних операцій над матрицями?

7. Для яких матриць вводиться дія множення?

8. Яку матрицю називають добутком матриць?

9. Як обчислюють визначник квадратної матриці другого, третього порядків?

10. Які властивості визначників?

11. Що називають рангом матриці?

12. Які перетворення матриць називають елементарними?

13. Що таке обернена матриця?

14. Що називають розв’язком системи лінійних рівнянь?

15. Яку систему лінійних рівнянь називають сумісною, несумісною?

16. Як формулюється теорема Кронекера – Капеллі?

17. У чому полягає основна ідея метода Гаусса?

Література: [1] – с. 77-104; [4] – с. 25-48; [5] – с. 30-76.

Вектором називають напрямлений відрізок. Якщо початок вектора є точка , а кінець – точка , то вектор позначають так: або .

Довжина відрізка називається модулем вектора і позначається або .

Лінійною комбінацією векторів називається сума добутків цих векторів на довільні дійсні числа , тобто вираз виду

Вектори називаються лінійно незалежними, якщо рівність нульовому вектору їх лінійної комбінації з числами можлива лише у випадку, коли всі числа дорівнюють нулю.

Вектори називаються лінійно залежними, якщо знайдуться такі дійсні числа , з яких хоча б одне відмінне від нуля, і такі, що лінійна комбінація векторів з цими числами дорівнює нульовому вектору, тобто

.

Три лінійно незалежних вектори утворюють в просторі базис, якщо будь-який вектор цього простору може бути поданий як лінійна комбінація векторів , тобто

.

Коефіцієнти цього розкладу вектора за базисом числа називають координатами вектора відносно базису . Звичайно пишуть так:

.

Аналогічно дається означення базису в -вимірному просторі.

Два неколінеарні вектори утворюють базис на площині, три некомпланарні вектори утворюють базис в просторі.

У разі додавання двох векторів їх координати відносно базису додаються. При множенні вектора на будь-яке число всі його координати множаться на це число. У випадку площини мають місце аналогічні твердження.

Кажуть, що в просторі задано декартову прямокутну систему координат, якщо в ньому зафіксована точка (початок координат) та вибрано ортонормований базис (вектори базису взаємно перпендикулярні і мають довжини, рівні одиниці).

Вектори є відповідно ортами осей . Кожний вектор може бути єдиним способом розкладений за декартовим прямокутним базисом , тобто представлений у вигляді

.

Числа називаються декартовими прямокутними координатами вектора .

Надалі користуватимемось саме декартовою системою координат.

Якщо точка є початком вектора , а точка – його кінцем, то координати вектора знаходять за формулами:

тобто

Довжину вектора визначають за формулою

(1.8)

Якщо точка належить прямій і ділить відрізок навпіл, то координати точки С визначають за формулами:

(1.9)

Скалярним добутком векторів і називається число, яке дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними:

Скалярний добуток позначають також і .

Якщо вектори і визначені своїми декартовими прямокутними координатами і , то скалярний добуток .

Кут між векторами знаходять за формулою

(1.10)

Умова ортогональності (перпендикулярності) векторів: .

Векторним добутком векторів і називається вектор, який позначається (або ) і задовольняє три умови:

1) ;

2) ;

3) вектор має такий напрям, що трійка векторів є правою (якщо ).

Впорядкована трійки некомпланарних векторів називається правою (лівою), якщо після зведення до спільного початку найкоротший поворот вектора до вектора , що спостерігається з кінця вектора , відбувається проти годинникової стрілки (за годинниковою стрілкою).

Умова паралельності векторів: .

Якщо вектори і визначені своїми декартовими прямокутними координатами , , то

, (1.11)

Модуль векторного добутку дорівнює площі паралелограма, побудованого на зведених до спільного початку векторах та , тобто .

Мішаний добуток векторів.

Якщо вектор помножити на вектора , а потім здобутий вектор скалярно помножити на вектор , то матимемо число , яке називається мішаним добутком векторів , і .

Якщо вектори , і визначені своїми декартовими прямокутними координатами , і , то їх мішаний добуток визначають за формулою

, (1.12)

Модуль мішаного добутку чисельно дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах , і :

V_пар-да ,

а об’єм відповідної піраміди

V_{піраміди} .

Вектори , і компланарні тоді і лише тоді, коли мішаний добуток цих векторів рівний нулю.