Матриця

називається розширеною матрицею системи.

Розв'язком системи (1.4) називається впорядкований набір чисел , підстановка яких замість невідомих перетворює всі рівняння системи на арифметичні тотожності.

Система рівнянь називається сумісною, якщо вона має хоча б один розв’язок. Якщо ж система не має жодного розв’язку, то вона називається несумісною.

Позначимо через Х та В матриці-стовпці

,

складені з невідомих і вільних членів системи (1.4), тоді її матрична форма має вигляд

, (1.5)

Матричний метод, правило Крамера

Нехай в системі (1.4) кількість невідомих дорівнює кількості рівнянь , тоді основна матриця системи квадратна.

Якщо ( – визначник системи), то існує обернена до матриця і єдиний розв’язок системи можна знайти матричним методом за формулою

, (1.6)

або за формулами Крамера

(1.7)

де – визначники, що отримуються з визначника заміною
-го стовпця стовпцем вільних членів.

Розглянемо систему (1.4) лінійних рівнянь з невідомими у загальному випадку. Питання про сумісність такої системи розв'язує наступна теорема.

Теорема Кронекера-Капеллі.

Система лінійних рівнянь сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг основної матриці дорівнює рангу розширеної матриці цієї системи, тобто

.

За цією теоремою, якщо ранги основної та розширеної матриць не рівні, то система несумісна й немає сенсу її розв'язувати. Якщо ранги матриць рівні, то система сумісна.

Для сумісних систем лінійних рівнянь можливі такі випадки:

1. Якщо ранг сумісної системи дорівнює кількості невідомих, тобто , то система (1.4) має єдиний розв'язок.

Система (1.4) має квадратну невироджену матрицю порядку і її єдиний розв'язок можна знайти матричним методом чи за формулами Крамера.

2. Якщо ранг сумісної системи менший від числа невідомих, тобто , то система (1.4) має безліч розв’язків. Її можна розв’язати методом Гаусса – методом послідовного виключення невідомих. При цьому розширена матриця системи за допомогою елементарних перетворень зводиться до трапецієподібної.

Вільні невідомих вибираються довільно, а базисні невідомих визначаються єдиним способом через вільні невідомі.