Обработка результатов косвенных измерений.

1) В чем состоит специфическая особенность косвенных измерений?

2) Приведите классификацию косвенных измерений.

3) Какой прием используется для решения задачи о погрешности результата косвенных измерений? При каких условиях использование его правомерно?

4) Какие условия должны выполняться, чтобы при определении погрешности можно было использовать линейное приближение разложения исходной функции в ряд?

5.)Что такое коэффициент влияния? Что он определяет?

6) Как определяется значение коэффициента влияния? Какое числовое значение может он иметь?

7) В чем особенность суммирования составляющих погрешностей аргументов при определении систематической и случайной погрешностей результата косвенных измерений?

8) Как определяется общая погрешность результата косвенных измерений?

 

2.5.2. Примеры решения задач

Задача № 2.12

Обработка результатов, полученных при поверке образцового резистора класса 1,0 с номинальным значением 10 Ом, дала следующие результаты:

Ом; Ом; Ом.

Представить результат измерения с указанием общей погрешности. Исходя из пределов общей погрешности сделать вывод, соответствует ли резистор своему классу точности.

Решение.

1. В соответствии с рекомендациями ГОСТ 8.207-76 для определения границ общей погрешности определяем сначала величину отношения (см. стр. 67 – 69 [4] ).

Для условий задачи отношение .

Так как 0,8 < < 8, то (в соответствии с рекомендациями стандарта) границы общей погрешности вычисляем по формуле:

,

где ;

.

Учитывая, что класс точности образцовых резисторов присваивается по величине предельного отклонения, границы доверительного интервала случайной погрешности определим при .

Ом.

2. Определяем величины и :

;

Ом;

Ом.

3. Так как Ом (по условию задачи), а границы общей погрешности образцового резистора Ом, то действительное значение поверяемого образцового резистора находится в границах:

10,038 Ом £ R £ 10,082 Ом.

Согласно требованиям на образцовые меры электрического сопротивления, относительное отклонение действительного значения меры от номинального значения не должно превышать значения, численно равного обозначению класса точности.

4. Определяем предельное относительное отклонение образцового резистора от номинала

% < 1%.

 

Ответ:действительное значение образцового резистора находится в границах 10,038 Ом £ R £ 10,082 Ом; по результатам поверки образцовый резистор соответствует своему классу точности.

 

Задача № 2.13

В цепь с током 15А включены три амперметра:

А1 класса точности 1,0 со шкалой на 50 А;

А2 класса точности 1,5 со шкалой на 30 А;

А3 класса точности 2,5 со шкалой на 20 А.

Определить, какой амперметр обеспечит большую точность измерения тока?

 

Решение:

Ответить на вопрос задачи можно, сравнив между собой величины абсолютных или относительных погрешностей. Для СИ, у которых преобладает аддитивная погрешность, удобнее сравнивать абсолютные погрешности, поскольку они постоянны по всей шкале. Условное обозначение классов точности (1,0; 1,5; 2,5) говорит о том, что для всех трех амперметров преобладает аддитивная погрешность, которая определяется для соответствующего прибора соотношением , где - класс точности, а -конечное значение шкалы (предел измерения см. табл. 3.1 [4] ).

Следовательно:

(А);

(А);

(А).

Ответ:

Большую точность измерения тока обеспечит второй амперметр.

 

 

Задача № 2.14

Можно ли определить величину измеряемого напряжения, если известно, что оно измерено с относительной погрешностью % прибором с пределом измерения В, а класс точности имеет на шкале условное обозначение вида ?

Решение:

При таком условном обозначении класса точности относительная погрешность результата измерения определяется выражением (см. табл. 3.1 [4]):

%.

Следовательно, можем записать:

, откуда В.

Ответ: Можно, В.

 

Задача № 2.15

Необходимо выполнить однократное измерение падения напряжения на участке цепи с погрешностью, не превышающей %.

 

Априорные данные об исследуемом объекте и условиях проведения измерительного эксперимента:

Участок цепи представляет собой стабильное сопротивление Ом;

Ток в цепи постоянный;

Измерение проводится в сухом отапливаемом помещении при температуре до +30°С и напряженности внешнего магнитного поля до 300 А/м;

Предполагаемое падение напряжения на участке цепи постоянно и не превышает 1,5 В.

Для измерений выбран вольтметр класса точности 0,5 с верхним пределом измерения В. Показания вольтметра при измерении В.

При изучении метрологических характеристик вольтметра по техническому описанию установлено, что:

Внутреннее сопротивление вольтметра Ом, %.

Нормальные условия эксплуатации следующие:

температура окружающего воздуха °С;

напряженность внешнего магнитного поля А/м;

дополнительная температурная погрешность не превышает основной, при отклонении температуры от нормальной на каждые 10°С;

дополнительная погрешность, обусловленная отклонением внешнего магнитного поля от нормальной не превышает половины основной, при отклонении напряженности внешнего магнитного поля от нормальной на каждые 100 А/м.

Решение:

1. Известно, что при измерении напряжения методическая погрешность определяется соотношением между сопротивлением участка цепи и сопротивлением вольтметра . Методическая погрешность в относительной форме определяется соотношением

%.

Очевидно, что если напряжение должно быть измерено с погрешностью не более %, то в результат измерения необходимо внести поправку на методическую погрешность.

Величина поправки в абсолютной форме определяется по формуле

(В).

Тогда с учетом поправки результат измерения будет

(В).

Поскольку и известны с погрешностями, то введением поправки не удается полностью исключить методическую погрешность, неисключенный остаток методической погрешности определяется погрешностями % и %. Границы неисключенного остатка методической погрешности можно оценить, зная что:

; %; %.

Оценка границ неисключенного остатка методической погрешности дает результат %. (Оценка границ неисключенного остатка методической погрешности в данной задаче не рассматривается, так как для этого необходимо воспользоваться правилами определения погрешности результата косвенных измерений. Определение границ неисключенного остатка методической погрешности приводится в решении задачи № 2.17).

 

2. Определяем границы основной погрешности результата измерения

%.

3. Определяем границы дополнительной температурной погрешности

%.

4. Определяем границы дополнительной погрешности от влияния внешнего магнитного поля

%.

5. Сравнивая границы неисключенного остатка методической погрешности с границами основной и дополнительных погрешностей, делаем вывод, что величина пренебрежимо мала, по сравнению с другими погрешностями и ее можно не учитывать. Принимая во внимание, что все составляющие погрешности измерения напряжения получены через класс точности вольтметра в виде границ, а о виде закона распределения каждой из составляющих достоверных сведений нет, границы погрешности результата находим по формуле (2.35 [4] ), задав доверительную вероятность и записав формулу для относительных погрешностей в виде:

%.

Учитывая, что число составляющих погрешности мало, оценим арифметическую сумму их

%.

Так как > , то в качестве границ погрешности результата измерения принимаем доверительные границы при .

6. Доверительные границы в абсолютной форме

(В).

Следовательно, результат измерения в окончательном виде можно представить в форме:

В; В; или

В; .

Ответ: В; .

Задача № 2.16

Мощность Р, потребляемая нагрузкой с сопротивлением , измеряется косвенным методом и вычисляется в соответствии с формулой

.

Оценки значения тока и величины сопротивления нагрузки и по условиям эксперимента могут быть получены путем прямых однократных измерений с относительными погрешностями, пределы которых оцениваются величинами: % и % соответственно. Определить пределы относительной погрешности, с которой в этих условиях будет измерена мощность потребляемая нагрузкой.

Решение:

В соответствии с изложенным выше, измерение мощности представляет собой обыкновенное нелинейное косвенное измерение. Оценку результата измерения в соответствии с (3.11 [4]) можем записать:

,

где - остаточный член разложения исходной функции в ряд Тейлора;

; ; ; ; .

Убедимся в возможности линеаризации исходного уравнения, для чего оценим величину остаточного члена . Так как по условию задачи сами оценки значения аргументов и остаются неизвестными, перейдем к относительной форме выражения погрешностей.

,

где :

.

Оценим величину остаточного члена по сравнению с другими погрешностями. Очевидно, что

<<

.

Следовательно, линеаризация исходного уравнения правомерна и остаточным членом разложения можно пренебречь, при этом получаем

.

Принимая во внимание тот факт, что значения аргументов по условию задачи измерялись путем обыкновенных однократных прямых измерений, следует считать, что пределы относительных погрешностей аргументов и определены с использованием информации о классе точности используемых приборов.

Следовательно, для определения пределов относительной погрешности измерения мощности следует воспользоваться формулой (2.35 [4] ), записав ее для относительных погрешностей:

.

Приняв доверительную вероятность , получаем

%.

Учитывая, что суммируются всего две составляющие погрешности, оценим их арифметическую сумму

%.

Так как > , то в качестве границ погрешности результата измерения мощности принимаем доверительные границы при .

Ответ: %, .

Задача № 2.17

Оценить границы неисключенного остатка методической погрешности измерения напряжения по условиям задачи № 2.15.

Решение:

Абсолютное значение методической погрешности определяется формулой (см. задачу № 2.15)

.

Вычислить точное значение поправки невозможно, поскольку значения резисторов и известны с погрешностями (показания вольтметра , для которого определяется поправка, считаются const). Оценка абсолютного значения поправки дана в задаче № 2.15

.

Учитывая, что функция достаточно проста, а погрешности аргументов малы считаем, что линеаризация исходной функции правомерна. Границы абсолютной погрешности определения величины поправки найдем, воспользовавшись формулой (3.14 [4] ).

.

 

Погрешности аргументов известны в виде границ, т. к. о законе распределения ничего не известно, определяем границы погрешности результата по формуле (2.35) с учетом (3.14). Принимая во внимание тот факт, что приходится суммировать всего две составляющих, - оценим максимально возможные границы погрешности определения поправки

(В).

Таким образом, границы неисключенного остатка методической погрешности в абсолютной форме

В.

Границы неисключенного остатка методической погрешности в относительной форме

%.

Ответ: В; %.

Задача № 2.18

Обработать результаты многократных прямых измерений тока, проведенных одним и тем же прибором за достаточно малый промежуток времени. При измерении получены следующие результаты (в мА):

10,07; 10,10; 10,15; 10,16; 10,17;

10,20; 10,40; 10,13; 10,12; 10,08.

Считать, что полученная совокупность результатов свободна от систематических погрешностей и подчиняется нормальному закону распределения.

 

Решение:

Из условия задачи следует, что полученная совокупность результатов представляет собой выборку равноточных нормально распределенных данных. Используя формулы раздела 2.3 [4], получаем:

1) Наиболее вероятное значение измеренной величины (оценка действительного значения тока)

(мА);

2) Оценка средней квадратичной погрешности (СКП) экспериментальных данных

(мА);

3) В полученной совокупности экспериментальных данных седьмой результат мА существенно отличается от остальных. Проверим, не содержит ли он грубую погрешность?

Определим

.

Зададим доверительную вероятность и по таблице №3 Приложения находим допускаемую величину для выборки из 10 результатов при .

> ,

следовательно, результат мА содержит грубую погрешность и должен быть отброшен. Количество результатов в выборке уменьшается до .

4) Уточняем значения и

(мА)

(мА).

В оставшейся совокупности результатов следует проверить еще результат мА. При той же доверительной вероятности для выборки из 9 результатов находим табличное значение . Определяем .

Так как < , результат измерения мА должен быть оставлен.

5) Определим СКП результата измерения (за результат измерения принимается уточненное значение )

(мА).

6) Определим границы доверительного интервала для результата измерений. Так как число обрабатываемых результатов < 20, то при определении коэффициента пользуемся табличными значениями распределения Стьюдента (см. Приложение). Задаем доверительную вероятность и для выборки из 9 наблюдений находим = 2,31.

Границы доверительного интервала для результата измерения

(мА).

7) Запишем результат измерения с указанием доверительной погрешности (соблюдая все правила метрологии при округлении значения погрешности и значения результата при окончательной записи результата измерений).

мА; ; ,

или 10,099 мА £ £ 10,163 мА; ; .

Ответ: мА; ; ,

или 10,099 мА £ £ 10,163 мА; ; .

Примечание: обе записи результата соответствуют требованиям стандарта и являются равнозначными.

 

Задача № 2.19

Для выяснения закона распределения случайных отклонений изготовленных резисторов от номинала было проведено измерение точного значения 200 резисторов из одной партии. Номинальное значение резисторов 300 Ом. В результате предварительной обработки результатов измерений получены следующие данные:

Максимальное значение резистора в выборке - Ом;

Минимальное значение резистора в выборке - Ом;

Среднее квадратическое значение отклонений резисторов от номинального значения - Ом.

Примечание: для экономии места вся совокупность полученных результатов измерений резисторов здесь не приводится. В таблице 1 приведены сгруппированные по интервалам данные предварительной обработки отклонений резисторов от номинала.

 

Решение:

Для обоснованной формулировки гипотезы о виде закона распределения отклонений резисторов от номинала построим гистограмму опытного распределения, соблюдая все рекомендации, приведенные в [4-6], для чего:

1) Группируем полученные отклонения по интервалам, число которых выбираем –r=11;

2) Определяем ширину интервала, используя (3.6 [4] ),

(Ом),

или используя максимальные отклонения резисторов от номинала

(Ом).

Округляя расчетное значение h, принимаем ширину интервала равной - Ома;

3) В качестве нижней границы первого интервала для удобства построения гистограммы выбираем не само значение полученного экспериментально отклонения

(Ом),

а несколько меньшее число - (Ом);

4) Определив нижнюю границу первого интервала - Ом, определяем границы всех остальных интервалов (например, и т.д.).

5) Подсчитываем число отклонений, попавших в каждый интервал - (частоты) и определяем значение экспериментальной вероятности попадания отклонений в соответствующий интервал (частости)

Все полученные данные и результаты дальнейших промежуточных расчетов заносим (для удобства представления результатов) в таблицу 1.

6) Выбрав (в соответствии с рекомендациями) масштаб по осям, строим гистограмму опытного распределения рисунок .

Вид этой гистограммы (сплошные линии на рисунке) позволяет с большой уверенностью предположить,что закон распределения отклонений резисторов от номинала является нормальным. Для окончательного принятия решения о виде закона распределения воспользуемся критерием согласия (или критерием Пирсона).

Для того чтобы использовать критерий согласия , проделаем некоторые промежуточные расчеты, результаты которых также заносим в таблицу 1.

7) Определяем нормированную нижнюю границу первого интервала и нормированные верхние границы всех интервала по формуле

;

8) Воспользовавшись таблицей 2 Приложения, находим значение нормированной интегральной функции нормального распределения - для нижней границы первого интервала и верхних границ каждого интервала;

9) Используя формулу (2.28 [4]) находим теоретическое значение вероятности попадания результатов в соответствующий интервал

10) Находим ту часть общего числа имеющихся результатов измерений, которая теоретически должна быть в каждом из интервалов

,

если в какой либо интервал теоретически попадает меньше 5 результатов, то его в обеих гистограммах объединяют с соседним, таеим образом, чтобы в объединенных интервалах оказалось более 5 результатов. Число интервалов - r, определенное в п.1, соответствующим образом изменяется (объединение интервалов при делается по той причине, что табличные значения -распределения, которыми предстоит пользоваться, рассчитаны для разных степеней свободы k при условии, что все ).

Для рассматриваемой задачи следует объединить 11 интервал с 10 интервалом, что и отражено в таблице. Следует обратить внимание на то, что решение об объединении интервалов можно принимать только после того, как для всех интервалов рассчитано число результатов, которые теоретически должны попадать в каждый из интервалов, и если для каких то интервалов это число оказывается меньше 5 (округлять расчетное число результатов до целого значения не следует).

Для иллюстрации степени различия гистограммы опытного распределения и теоретического нормального распределения с тем же числом интервалов изображены на рис. (гистограмма теоретического распределения изображена на рисунке пунктирными линиями, данные взяты из табл. 1);

11) Для каждого интервала вычисляем меру расхождения опытной и теоретической кривой распределения -

и вычисляем величину критерия согласия -

,

где - число интервалов группирования данных после объединения, если таковое происходило;

12) Определяем число степеней свободы для - распределения (или распределения Пирсона), которое определяется соотношением

где s - число независимых связей, наложенных на частости .

Числовое значение параметра s определяется видом теоретического закона распределения, на соответствии которому проверяется опытное распределение. Для нормального закона - s=3 и эти связи следующие, для нормального закона распределения принимаются условия:

(условие нормировки).

Таким образом, для рассматриваемой задачи,

;

13) Выбираем доверительную вероятность - . с которой будем проверять согласие опытного распределения с теоретическим или выбираем уровень значимости критерия - g (. ).

Уровень значимости - g должен быть достаточно малым, чтобы была мала вероятность отклонить правильную гипотезу (ошибка первого рода), но не слишком малым, чтобы не увеличивать вероятность принятия ложной гипотезы (не совершить ошибку второго рода). Для практического решения задачи определения согласия опытного распределения с выбранным теоретическим законом рекомендуется выбирать уровень значимости в интервале значений [6].

Для рассматриваемой задачи выбираем (т.е. );

14) По таблицам - распределения (таблица 5 Приложения) при уровне значимости и числе степеней свободы к=7 находим граничные значения функции ,

;

15) Принимая во внимание, что

можем сделать вывод, что распределение опытных данных не противоречит нормальному закону, т.е. гипотеза о нормальности закона распределения отклонений резистора от номинального значения может быть принята.

 

Ответ:

Закон распределения отклонений резистора от номинального значения Ом можно с вероятностью считать нормальным со средним квадратическим отклонением Ом.

 

Рассмотренная в решении примера последовательность действий по применению критерия для проверки согласия опытного распределения с теоретическим входит как составная часть в общий алгоритм обработки результатов многократных прямых измерений при неизвестном заранее законе распределения.