Метод решения бесконечных игр
Пример решения игры методом Брауна-Робинсона
Лекция 8
итерационный метод решения Матричной игры
(продолжение)
Пример 8.1 Решение игры итерационным методом
| y1 | y2 | y3 | |
| x1 | |||
| x2 | |||
| x3 |
Вначале найдем точное решение игры для игрока 1 с помощью решения системы линейных уравнений вида (6.1.1).
Система
имеет решение, состоящее из положительных величин
Построим таблицу итерационного процесса для данного примера.
| k | ik | kμ1 | kμ2 | kμ3 | jk | kη1 | kη2 | kη3 | γ1 | minγ1 | γ2 | maxγ2 | Δ |
| 1 30 34 38 50 80 81 85 89 97 | 11 16 21 26 45 52 54 59 64 69 76 104 106 111 | 7 | 8 12 44 54 56 98 104 106 | 15 20 25 34 38 47 61 66 71 89 93 111 116 | 32 78 85 86 | 5.33 4.86 4.75 4.89 4.7 4.91 4.67 4.69 4.71 4.73 4.88 4.78 4.68 4.65 4.67 4.72 4.61 4.63 4.64 | 4.86 4.75 4.75 4.7 4.7 4.67 4.67 4.67 4.67 4.67 4.67 4.67 4.67 4.65 4.65 4.65 4.61 4.61 4.61 | 3.5 3.67 4.2 4.33 4.29 4.25 4.23 4.5 4.55 4.33 4.15 4.21 4.27 4.31 4.47 4.44 4.26 4.25 4.24 4.41 4.52 4.42 4.44 | 3.5 3.67 4.2 4.33 4.33 4.33 4.33 4.5 4.55 4.55 4.55 4.55 4.55 4.55 4.55 4.55 4.55 4.55 4.55 4.55 4.55 4.55 4.55 | 2.5 1.33 0.8 0.67 0.53 0.42 0.42 0.2 0.15 0.12 0.12 0.12 0.12 0.12 0.12 0.12 0.12 0.1 0.1 0.1 0.06 0.06 0.06 |
Получаем 
.
Бесконечной игройназывается игра, в которой по крайней мере одна из сторон имеет бесконечное множество стратегий.
Рассмотрим игру двух противников 1 и 2, каждый из которых имеет бесконечное и несчетное множество стратегий. Для игрока 1 эти стратегии соответствуют различным значениям переменной x, а для игрока 2 ― различным значениям переменной y. Вместо матрицы игры [aij] здесь используется функция выигрышаa(x,y).
Нижняя цена игры
(8.2.1)
а верхняя цена игры
(8.2.2)
Если α=β, тофункция выигрышаa(x,y) имеет седловую точку, а игра имеет решение в области чистых стратегий, которые представляют собой координаты этой точки. В противном случае игра может иметь решение в области смешанных стратегий, которые представляют собой распределение вероятностей для случайных величин x и y. Эти распределения могут быть непрерывными p(x) и q(y) или дискретными.
Одним из практических способов решения бесконечных игр является их приближенное сведение к конечным. При этом конечно возможны не только погрешности, но и ошибки, например, может быть найдено решение в области смешанных стратегий для игры, имеющей седловую точку (в этом случае две активные стратегии, которые только и входят в оптимальную смешанную стратегию, являются соседними).