Хвильові матриці простих чотириполюсників та восьмиполюсників

Зв’язок елементів матриць передачі та розсіювання

Елементи матриці [T] можна виразити черезелементи матриці [S]:

(1.17)

Для оборотного чотириполюсника s₁₂ = s₂₁ і визначник матриці [T] дорівнює одиниці:

. (1.18)

З урахуванням виразу (1.18) коефіцієнт можна записати у вигляді

використавши властивість унітарності

Аналогічно елементи матриці [S] можна виразити черезелементи матриці [T]:

(1.19)

. Наведемо приклад використання матриці [S].

Розглянемо ділянку ЛП електричною довжиною , у якої поширюється Т- хвиля. Ділянка нескінченного регулярного хвилеводу (рис.1.10. а) не відбиває хвилю, тому s₁₁= s₂₂= 0. Переміщення хвилі від одного входу до іншого супроводжується зміною її фази на q₀, тому .

Матриця розсіювання такого відрізка має вигляд

(1.20)

Зі співвідношення (1.17) знайдемо елементи матриці [T] ділянки лінії: t₁₁= t₁₂=

0, t₂₁= 0, t₂₂= , тобто . (1.21)

Тепер розглянемо реактивну провідність jВ, включену в ЛП паралельно(рис. 1.10. б). Коефіцієнти відбиття s₁₁і s₂₂від реактивної провідності визначимо за формулою, отриманою в теорії довгих ліній, що пов’язує коефіцієнти відбиття s₁₁= s₂₂від навантаження Y_н= jB + Y₀ із хвильовою провідністю лінії Y₀:

де b = B/Y₀ – нормована реактивна провідність.

Знайдемо коефіцієнт передачі s₂₁= s₁₂ за означенням як відношення амплітуд хвилі а₂, що падає, та b₁ – тієї, що пройшла:

Тут використано безперервність дотичних складових поля з обох боків тонкої неоднорідності - рівність амплітуди хвилі, що пройшла, сумі амплітуд хвилі, що падає, та відбитої (b₁= а₂+ b₂). Як і в попередньому випадку, елементи матриці [T] визначимо зі співвідношення (1.17):

(1.22)

З огляду на рівність (1.17) унесене ослаблення можна подати у вигляді

Матрицю (1.22) іноді записують у параметричній формі, вводячи

такий параметр j, що

(1.22.а)

Нехай вихід чотириполюсника, матриця [S] якого відома, навантажений на довільне

навантаження, яке має комплексний коефіцієнт відбиття Г (рис. 1.10.в).

Знайдемо коефіцієнт відбиття від входу чотириполюсника s₁₁із урахуванням впливу цього навантаження. Для чотириполюсника правдиві рівняння

У випадку неузгодженого навантаження а₂= b₂Г ¹ 0, і з першого рівняння випливає, що

(1.23)

Із другого рівняння з урахуванням того, що b₂ = a₂/Г, маємо

. (1.24)

Підставимо праву частину співвідношення (1.24) у вираз (1.23) і одержимо

. (1.25)

Матриці стику двох хвилеводів, яки мають однаковий розмір широкої стінки а, але

різні вузькі стінки, наприклад b₂> b₁ (рис.1.11), і в разі поширення в обох хвилеводах тільки основної хвилі, можна виразити у наступному виду

; , (1.26)

де - відношення хвильових опірив.

Матриця направленого восьмиполюсника (рис. 1.12) має вид:

, (1.27)

яка правдива для направлених відгалужувачів, що ділять вхідну потужність між йох вихідними плечима в заданому співвідношенні.

Трьох децибельним направленим відгалужувачем або мостом називають чотирьохплечивий вузол, якій поділяєть потужність хвилі, що надходить до кожного з входів моста, нарівно між протилежними плечима. Вони поділяються на сінфазно-протифазні та квадратурні і йох матриці відрізняються. Наприклад, аналізуючи матрицю розсіювання подвійного хвилевідного трійника (рис. 1.13), можна виявити важливі його властивості, які важко пояснити міркуваннями якісного характеру.

Сформулюємо ці властивості у вигляді теореми:

якщо подвійний трійник узгоджений з боку Е- та H-пліч (s₃₃= s₄₄= 0), то:

· він узгоджений і з боку бічних пліч (s₁₁= s₂₂= 0);

· зв’язку між бічними плечима немає (s₁₂= s₂₁= 0);

· потужність, що підводиться до одного з бічних пліч, поділяється

нарівно між Е- та H-плечима

Для доведення перетворимо матрицю розсіювання подвійного трійника з урахуванням умов цієї теореми, взаємності пристрою – симетрії матриці [S] щодо головної діагоналі, а

також властивостей трійника, установлених у результаті якісного його розгляду (s₃₄= s₄₃= 0, s₂₃= s₃₂ за властивістю взаємності та s₂₃= -s₁₃через протифазність збудження бічних пліч у разі живлення подвійного трійника з боку Е-плеча). Отже,