ІІ. Інтеграл від розривної функції.

І. Нескінченний проміжок інтегрування.

Нехай функція визначена при всіх і всіх , а також існує для кожного невласний інтеграл:

. (7.52)

Означення.Невласний інтеграл (7.52) називається рівномірно збіжним відносно у, якщо для будь-якого знайдеться незалежне від у число , таке що для всіх виконується нерівність

одночасно для всіх .

Розглянемо функцію , що визначена в такій області D:

.

Теорема. Якщо функція та її частинна похідна — неперервні в області D, інтеграл — збіжний, а інтеграл — рівномірно збіжний відносно у, то для виконується формула:

(7.53)

Нехай функція визначена при всіх і всіх а при має розрив 2-го роду; при цьому існує ін-
теграл

. (7.54)

Означення. Невласний інтеграл (7.54) називається рівномірно збіжним відносно у, якщо для будь-якого існує незалежне від у число таке, що при виконується нерівність

одночасно для всіх .

Розглянемо функцію , що визначена в такій області D:

.