Теорема . Якщо функція неперервна по для будь-якого сталого та частинна похідна неперервна у прямокутній області D, то виконується формула

Інтеграли, що залежать від параметра

Нехай підінтегральна функція визначена в прямокутній області D, так що , ; тоді інтеграл виду

буде функцією допоміжного аргументу або параметра у. Правило диференціювання функції , тобто правило диференціювання інтеграла, що залежить від параметра, встановлюється такою теоремою:

(30.9)

Більш загальний випадок, коли межі інтегрування також залежать від параметра у:

,

визначається такою теоремою:

Теорема . Якщо функція та її частинна похідна неперервні в прямокутній області D, функції та — диференційовні і їхні графіки не виходять за межі області D, то справджується така формула:

Щоб розпочати застосування формули (7.51) на випадок невласних інтегралів, введемо поняття рівномірної збіжності відносно параметра невласних інтегралів.