Невласні інтеграли другого роду

Теорема 1. Якщо при виконується нерівність , то зі збіжності інтеграла випливає збіжність інтеграла або з розбіжності випливає розбіжність .

Звичайно, для порівняння вибирається інтеграл, збіжність якого відома, наприклад інтеграл Діріхле.

Приклад. Дослідити збіжність інтеграла .

l .

— збіжний, як інтеграл Діріхле із р = 2 > 1, тому буде збіжним і .

Невласні інтеграли другого роду – це інтеграли від розривних (необмежених) функцій

Нехай неперервна на проміжку та при х = а має розрив 2-го роду.

Означення. називається невласним інтегралом від розривної (необмеженої) функції .

Якщо ця границя існує, то інтеграл називається збіжним, а якщо не існує, то — розбіжним.

Для обчислення таких невласних інтегралів використовують такі формули:

— точка розриву ,

. (30.6)

— точка розриву ,

(30.7)

III. — точка розриву ,

(30.8)

Зауваження.До невласних інтегралів, які мають точку розриву, що є внутрішньою для не можна застосувати формулу Ньютона—Лейбніца.

Приклад. Обчислити .

l Неправильне розв’язання: .

Правильне розв’язання: , — точка розриву 2-го роду функції — невласний.

інтеграл розбіжний.