Невласні інтеграли першого роду.
Лекція № 30
Завдання для самостійної роботи
Розв’язання
Розв’язання
Використаємо формулу (29.11), для цього знайдемо:
,
.
кв.од.
9. Обчислити площу поверхні тіла, утвореного обертанням лемніскати 
навколо полярної осі.
Обчислимо половину шуканої площі поверхні, а саме:
. Знайдемо з рівняння 
.
Тоді 
.
Обчислимо 
.
Тоді 
.
кв. од.
Обчислити площі поверхонь тіл, утворених обертанням кривих навколо відповідної осі:
1. 
, 
, 
?
2. 
, 
, ?
3. 
, 
, 
?
4. 
, 
, ?
5. Знайти поверхню сфери, заданої в полярних координатах.
§ 3. (С. р. Знаходження статичних моментів і координат центра мас. Теореми Гульдіна. Обчислення роботи та сили тиску.)
Тема: Невласні інтеграли першого роду. Невласні інтеграли другого роду.
План лекції:
§1.Невласні інтеграли першого роду.
§2. Невласні інтеграли другого роду
1. Невласні інтеграли першого роду – це інтеграли із нескінченним проміжком інтегрування.
Нехай f(x) інтегровна для будь-якого скінченного 
, так що 
існує.
Означення. Границя при 
називається невласним інтегралом від функції f(x) на нескінченному проміжку 
і позначається так: 
.
Якщо ця границя існує та скінченна, то невласний інтеграл називається збіжним, а якщо не існує (зокрема нескінченна), то — розбіжним.
Якщо f(x) — інтегровна для скінченних a та b, тобто 
формули для обчислення невласних інтегралів на нескінченному проміжку мають вигляд:
(30.1)
(30.2)
(30.3)
де 
Приклад. Дослідити на збіжність інтеграл Діріхле
. (30.4)
Для розв’язування задачі розглянемо такі три випадки:
I. р = 1. 
інтеграл розбіжний.
II. p < 1. 
, інтеграл розбіжний.
III. p > 1. 
, інтеграл збіжний.
Отже, інтеграл Діріхле збіжний при p > 1 та розбіжний при 
.
Крім безпосереднього обчислення невласних інтегралів при дослідженні їх на збіжність існують і інші методи.
Одним із таких методів можна встановити збіжність інтеграла Пуассона (рис. 30.1)
Рис. 30.1
|
, (30.5)
особливість якого полягає в тому, що первісна для підінтегральної функції 
не виражається через елементарні функції.
У деяких випадках достатньо встановити лише збіжність чи розбіжність розглядуваного інтеграла, при цьому можна скористатися методом порівняння, що базується на такій теоремі: