Розв’язання

Розв’язання

Розв’язання

Розв’язання

Виразимо : . Скористаємось формулою (29.5), для цього знайдемо , тоді .

Отримаємо: кв. од.

5. Обчислити поверхню тора, утвореного обертанням кола навколо осі .

Поверхня тора дорівнює сумі поверхонь, утворених обертанням дуг та навколо осі . Щоб скористатися формулою (3.17), розв’яжемо рівняння кола відносно . Маємо: , звідки , .

Для дуги : , , .

Обчислимо , . Для дуги : , , .

Отже,

.

Відрізок інтегрування симетричний, тобто

кв. од.

6. Знайти площу поверхні, утвореної обертанням навколо осі кривої

Застосуємо формулу (3.19), для цього знайдемо , . Обчислимо

.

Тоді отримаємо:

кв. од.

7. Знайти поверхню тіла, утвореного обертанням однієї арки циклоїди навколо осі .

Використовуючи формулу (29.9), обчислимо спочатку , .

Тоді

.

Отже,

кв. од.

8. Знайти площу поверхні, утвореної обертанням кардіоїди навколо полярної осі.