Розв’язання

Розв’язання

Розв’язання

Зразки розв’язування задач

1. Знайти площу поверхні сфери, як тіла обертання.

Нехай сфера утворена обертанням кола навколо осі . Знайдемо :

(верхня половина кола), тоді

.

Обчислимо , тоді

.

Отже, за формулою (3.17):

.

Площа поверхні сфери дорівнює .

2. Знайти бічну поверхню параболоїда, утвореного обертанням параболи навколо осі на відрізку .

Якщо , то .

Так як вітки параболи симетричні відносно осі , будемо вважати, що тіло утворено обертанням верхньої вітки, рівняння якої . Отже, . Тоді .

Тепер .

Маємо:

кв. од.

3. Знайти площу поверхні, утвореної обертанням навколо осі дуги синусоїди від до .

Скористуємось формулою (29.10). Спочатку знайдемо

, тоді .

Отже,

.

Позначимо та обчислимо його частинами. Будемо мати:

.

Звідки , тому .

Повернемося до обчислення площі поверхні:

кв. од.

4. Знайти площу поверхні, отриманої обертанням прямої навколо осі від до .