Площа поверхні обертання.

Завдання для самостійної роботи

Розв’язання

Рівняння задає коло діаметра з центром у точці . Зрозуміло, що . Для обчислення об’єму використаємо формулу (29.6). Будемо мати:

куб. од.

Обчислити об’єми тіл, утворених обертанням плоских фігур навколо координатних осей:

1. , , , , ?

2. , , ?

3. , , ?

4. , , ?

5.

6. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням кривої навколо полярної осі .

Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, що обмежена лініями:

16. навколо осі Оу.

Відповідь. .

17. навколо осі Оу.

Відповідь. .

18. навколо осі Ох.

Відповідь. .

19. навколо осі Ох.

Відповідь. .

20.ху = 4, х = 1, х = 4, у = 0 навколо осі Ох.

Відповідь. .

Площа поверхні, утвореної обертанням навколо осі дуги гладкої кривої, заданої функцією , , обчислюється за формулою

. (29.7)

Якщо гладка крива задана рівнянням , , то площа поверхні, утвореної обертанням кривої навколо осі , може бути обчислена за формулою

. (29.8)

У разі параметричного задання кривої рівняннями , , , де функції , - неперервні разом із своїми похідними, відповідні площі поверхні обчислюються за формулами:

, (29.9)

. (29.10)

Площа поверхні, отриманої обертанням навколо полярної осі криволінійного сектора, обмеженого неперервною кривою та двома полярними радіусами , , визначається за формулою

. (29.11)