Розв’язання

Розв’язання

Розв’язання

Розв’язання

Зобразимо фігуру, при обертанні якої утворюється шукане тіло.

Знайдемо точки перетину графіків функцій та . , звідки , . Знайдемо .

Наша парабола перетинає вісь в точках та .

Так як на відрізках та фігура обмежена різними лініями, то об’єм тіла знайдемо як суму об’ємів , де

,

.

Тоді куб. од.

6. , , .

Побудуємо вітку параболи та пряму . Вони перетинаються в точці:

, .

Пряма перетинає вісь в точці .

Вітка параболи з віссю має спільну точку .

Знайдемо об’єм тіла як різницю між об’ємами - об’ємом тіла, утвореного обертанням гілки параболи, та - об’ємом конуса, утвореного обертанням прямої.

Маємо:

куб. од.

7.

Для обчислення об’єму скористаємось формулою (29.4). Знайдемо . Тоді

куб. од.

8. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням однієї арки циклоїди .

Знайдемо , .

Тоді

.

Обчислимо останній інтеграл:

.

Отже,

куб. од.

9. Обчислити об’єм тіла, отриманого обертанням кривої навколо полярної осі.