Об’єм тіла обертання.
Лекція № 29
Приклади.
1) Обчислити кривизну параболи у = х2 в точці (1; 1).
Розв’язання. Застосуємо формулу (6). Для цього знайдемо f '(х) = 2х,
f ''(х) = 2, f '(1) = 2, f ''(1) = 2.
Тоді
К = =
2) Знайти кривизну кардіоїди ρ = a(1 – cоs φ) в довільній точці.
К = .
Тема: Об’єм тіла обертання. Площа поверхні обертання. (С. р. Знаходже ння статичних моментів і координат центра мас. Теореми Гульдіна. Обчислення роботи та сили тиску.)
План лекції:
t
§ 1.Об’єм тіла обертання.
§ 2. Площа поверхні обертання.
§ 3. (С. р. Знаходження статичних моментів і координат центра мас. Теореми Гульдіна. Обчислення роботи та сили тиску.)
Нехай функція - неперервна і додатна на відрізку .
Об’єм тіла, яке утворюється при обертанні навколо осі криволінійної
трапеції, обмеженої кривою та відрізками прямих (рис.3.6), дорівнює
. (29.1)
Якщо задані дві неперервні криві такі, що , при , то об’єм тіла, отриманого обертанням навколо осі плоскої фігури, обмеженої цими лініями та відрізками прямих (рис.3.7), обчислюється за формулою
. (29.2)
|
|
|
Об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі криволінійної трапеції, обмеженої неперервною кривою , прямою та відрізками прямих , (рис.3.8), дорівнює
. (29.3)
У разі параметричного задання кривої рівняннями , , об’єми утворених тіл обертання навколо осі або осі визначаються відповідно формулами:
, (29.4)
. (29.5)
|
. (29.6)
Зразки розв’язування задач
1. Знайти об’єм кулі.