Диференціал довжини дуги.

Лекція № 28

Завдання для самостійної роботи

Обчислити довжини дуг ліній:

1. від до ; 2. , ;

3. , ;

4.

5.

Тема: Диференціал довжини дуги. Кривизна кривої. Коло кривизни. Еволюта. Евольвента.

План лекції:

§ 1.Диференціал довжини дуги.

§ 2. Кривизна кривої. Коло кривизни. Еволюта. Евольвента.

Нехай криву задано параметрично:

x = x(t), y = y(t), α ≤ t ≤ β,

де x(t), y(t) – неперервні на y(t) відрізку [α;β] функції разом з похідними x'(t), y'(t).

Візьмемо на кривій (рис.1.) точку М, яка відповідає довільно вибраному значенню параметра t. Тоді крива А˘М є спрямлюваною, а довжина дуги

Оскільки верхня межа в цьому інтегралі є змінною, то

Рис. 1. інтеграл є функцією верхньої межі t. Отже, і s є функцією від t:

s = s(t).

Знайдемо похідну функції s(t). Похідна цієї функції в точці t існує і дорівнює

.

Звідси

.

Записуючи x'(t), y'(t) у вигляді

х' = , у' = ,

дістаємо таку формулу для диференціала дуги А˘М:

,

або

ds² = dx² + dy².

Користуючись останньою формулою можна надати геометричну інтерпретацію.

Справді, нехай криву задано рівнянням у = f(х), де f(х) неперервна на відрізку [a;b] разом з похідною f '(х) функція. Тоді крива А˘М є спрямлюваною.(рис.2.)

Візьмемо на цій кривій дві довільні точки М(х; у) і М'(х + ∆х; у + ∆у). Позначимо довжину дуги ММ' через ∆ ѕ і в точці М проведемо дотичну.

Тоді d ѕ дорівнює довжині гіпотенузи прямокутного трикутника з катетами dх і dу. У цьому й полягає геометричний зміст диференціала дуги

З формули можна дістати формули для диференціала дуги в різних системах координат, зокрема:

Рис. 2.

1) в декартовій системі координат крива задається рівнянням у = f(х), тоді

dх; (1)

2) крива задана параметричними рівняннями:

х = х(t), у = у(t),

тоді

(2)

3) в полярних координатах крива задана рівнянням ρ = ρ(φ),

тоді

(3)

Остільки ѕ(t) є монотонно зростаючою функцією, (ѕ'(t) > 0), то для функції ѕ = ѕ(t) (t) існує обернена функція t = ω(ѕ). Тому, підставляючи в рівняння кривої

х = х(t), у = у(t) значення t, дістанемо такі рівняння:

х = х(ω(ѕ)) = φ(ѕ),

у = у(ω(ѕ)) = ψ(ѕ),

0 ≤ ѕ ≤ S.

Це параметричні рівняння кривої, де за параметр взято вже довжину дуги – геометричну величину, яка пов’язана з кривою.