Розв’язання

Розв’язання

Розв’язання

Знайдемо : ,

.

Тоді

Тоді .

8. Визначити довжину всієї кривої Штейнера .

Якщо , рухоме коло описує третину всієї кривої. Знайдемо :

,

.

Будемо мати:

.

Маємо: . Отже, .

9. Знайти довжину кардіоїди .

Наведемо вигляд цієї кривої.

Для використання формули (27.10) обчислимо та . Маємо: , ,

тоді

.

У той час, коли точка на кардіоїді пробігає всю криву, її полярний кут змінюється від до .

.

10. Знайти довжину дуги кривої .

Розв’язання

Довжину дуги обчислимо за формулою (3.10). Для цього знайдемо диференціал дуги .

Маємо:

.

Тоді

.

Визначимо, як змінюється полярний кут, коли точка, що рухається по кривій, пробігає її всю. Нехай , тоді , звідки . При , при .

Отже,

.

Знайти довжину дуги першого витка спіралі Архімеда .

Розв’язання

Обчислимо : , тоді

, де .

Тоді .

 

Обчислимо інтеграл:

=

.

Тобто отримали: , звідки

.

Маємо:

.