Розв’язання
Розв’язання
Розв’язання
Знайдемо : ,
.
Тоді
Тоді .
8. Визначити довжину всієї кривої Штейнера .
Якщо , рухоме коло описує третину всієї кривої. Знайдемо :
,
.
Будемо мати:
.
Маємо: . Отже, .
9. Знайти довжину кардіоїди .
Наведемо вигляд цієї кривої.
Для використання формули (27.10) обчислимо та . Маємо: , ,
тоді
.
У той час, коли точка на кардіоїді пробігає всю криву, її полярний кут змінюється від до .
.
10. Знайти довжину дуги кривої .
Розв’язання
Довжину дуги обчислимо за формулою (3.10). Для цього знайдемо диференціал дуги .
Маємо:
.
Тоді
.
Визначимо, як змінюється полярний кут, коли точка, що рухається по кривій, пробігає її всю. Нехай , тоді , звідки . При , при .
Отже,
.
Знайти довжину дуги першого витка спіралі Архімеда .
Розв’язання
Обчислимо : , тоді
, де .
Тоді .
Обчислимо інтеграл:
=
.
Тобто отримали: , звідки
.
Маємо:
.