Розв’язання
Розв’язання
Розв’язання
Знайдемо 
: 
,
.
Тоді 
Тоді 
.
8. Визначити довжину всієї кривої Штейнера 
.
Якщо 
, рухоме коло описує третину всієї кривої. Знайдемо :
,
.
Будемо мати: 
.
Маємо: 
. Отже, 
.
9. Знайти довжину кардіоїди 
.
Наведемо вигляд цієї кривої.
Для використання формули (27.10) обчислимо 
та 
. Маємо: 
, 
,
тоді 
.
У той час, коли точка на кардіоїді пробігає всю криву, її полярний кут змінюється від 
до 
.
.
10. Знайти довжину дуги кривої 
.
Розв’язання
Довжину дуги обчислимо за формулою (3.10). Для цього знайдемо диференціал дуги .
Маємо: 
.
Тоді 
.
Визначимо, як змінюється полярний кут, коли точка, що рухається по кривій, пробігає її всю. Нехай 
, тоді 
, звідки 
. При 
, при 
.
Отже, 
.
Знайти довжину дуги першого витка спіралі Архімеда 
.
Розв’язання
Обчислимо : 
, тоді 
, де 
.
Тоді 
.
Обчислимо інтеграл: 
= 
.
Тобто отримали: 
, звідки
.
Маємо: 
. 