Розв’язання
Розв’язання
Розв’язання
Розв’язання
Розв’язання
Знайдемо 
, тоді 
.
Обчислимо: 
. За формулою (27.7): 
.
3. Знайти довжину дуги лінії 
від точки 
до 
.
Застосуємо формулу (27.8):
, тоді 
.
Отже, 
.
(Модуль знято тому, що 
- кут першої чверті і 
).
4. Обчислити довжину дуги кривої 
від точки 
до 
( 
).
Застосуємо формулу (27.7): 
, 
.
Тоді 
.
Отримаємо: 
.
5. Знайти довжину астроїди 
.
Наведемо вигляд цієї кривої.
Користуючись симетрією, обчислимо довжину дуги, що розташована у першій чверті. Вона становитиме чверть від всієї довжини дуги.
З рівняння дістанемо: 
.
Піднесемо обидві частини рівності до степеня 
. Отримаємо: 
.
Тоді 
.
Обчислимо 
.
Маємо: 
.
Тоді 
.
6. Знайти довжину однієї арки циклоїди 
.
Згадаємо приклад 9 попереднього параграфа: параметр 
кривої змінюється від 
до 
.
Застосуємо формулу (27.9): 
, 
.
Обчислимо 
.
Тоді 
.
Тобто довжина однієї арки циклоїди у вісім разів більша радіуса кола, яке її утворює.
7. Знайти довжину дуги кривої 
, 
від 
до 
.