Розв’язання

Розв’язання

Розв’язання

Розв’язання

Розв’язання

Знайдемо , тоді

.

Обчислимо: . За формулою (27.7): .

3. Знайти довжину дуги лінії від точки до .

Застосуємо формулу (27.8):

, тоді

.

Отже,

.

(Модуль знято тому, що - кут першої чверті і ).

4. Обчислити довжину дуги кривої від точки до ( ).

Застосуємо формулу (27.7): , .

Тоді .

Отримаємо:

.

5. Знайти довжину астроїди .

Наведемо вигляд цієї кривої.

Користуючись симетрією, обчислимо довжину дуги, що розташована у першій чверті. Вона становитиме чверть від всієї довжини дуги.

З рівняння дістанемо: .

Піднесемо обидві частини рівності до степеня . Отримаємо: .

Тоді .

Обчислимо .

Маємо: .

Тоді .

6. Знайти довжину однієї арки циклоїди .

Згадаємо приклад 9 попереднього параграфа: параметр кривої змінюється від до .

Застосуємо формулу (27.9): , .

Обчислимо

.

Тоді .

Тобто довжина однієї арки циклоїди у вісім разів більша радіуса кола, яке її утворює.

7. Знайти довжину дуги кривої , від до .